Determinante de la matriz 2x2 dividido por la diferencia entre la primera fila

Question

He heredado un viejo código fuente que contiene esta operación matricial y no estoy muy seguro de lo que hace. Hay dos vectores, que se muestran en el diagrama como rojo y azul $[x;y]$ . $$ r = [-184929 ; 431070] \quad \text{and} \quad b = [222871; 438373]. $$

Se combinan en un $2 \times 2$ matriz y se calcula el determinante que sé que dará el área del paralelogramo. Pero entonces esto se divide por $x_2 - x_1$ . Así que termino con $$ \begin{bmatrix} -184929 & 222871\\ 431070 & 438373 \end{bmatrix} $$

$$ \frac{x_2 \, y_1 - x_1 \, y_2}{x_2-x_1} $$

El determinante en este caso ${}\approx 1.77 \times 10^{11}$ y al dividir por $x_2-x_1$ Recibo ${}\approx 434381$ . En el contexto de la aplicación en la que estoy trabajando parecería apropiado calcular la media de los vectores rojo y azul, que si hago eso termino con $[189710; 434721]$ . El valor medio de $434721$ está cerca del $434381$ pero tengo curiosidad por saber en general lo que supone tomar el determinante y dividirlo por ej. $(x_2 - x_1)$ lo hace. Es que no lo había visto antes. Gracias por cualquier explicación.

Answer 1

La línea que pasa por los puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ se cruza con el $y$ -eje en $y=\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2-x_1}.$

Esto puede verse de la siguiente manera:

La ecuación general de una recta que pasa por los puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ con $x_1\neq x_2$ es $$ \frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ Por lo tanto \begin{eqnarray} y &=& \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\, x - \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\, x_1 + y_1 \\ &=&\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\, x + \frac{-(y_2-y_1)x_1 + (x_2-x_1)y_1}{x_2-x_1} \\ &=&\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\, x + \frac{-x_1y_2+y_1x_1 + x_2y_1-x_1y_1}{x_2-x_1} \\ &=&\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\, x + \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2-x_1} \end{eqnarray}