¿Cómo encontrar estrategias óptimas mixtas en este juego de suma cero?

Question

Estoy intentando resolver este problema del examen final de teoría de juegos del año pasado:

Consideremos el juego de suma cero $G=(X, Y, g)$ donde $X=Y=[0,1]$ y $$\forall (x,y) \in X \times Y: g(x, y)=\max \{x(1-2 y), y(1-2 x)\}$$

Encontrar una estrategia óptima mixta para cada jugador. (Sugerencia: se pueden considerar estrategias estrategias del jugador $1$ que juega $x=0$ con cierta probabilidad y $x=1$ con la probabilidad restante).

Mi intento:

Sea $\sigma$ sea una estrategia óptima mixta en la que el jugador $1$ juega $x=0$ con probabilidad $p$ y $x=1$ con probabilidad $1-p$ . Una estrategia óptima mixta $\tau$ de jugador $2$ es una medida de probabilidad sobre $[0,1]$ .

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Entonces estoy atascado para proceder. ¿Podría ayudarme a terminar este ejercicio? Muchas gracias.

Answer 1

Si el jugador $1$ elige $\ x=0\ $ su remuneración es $$ \max(0,y)=y\ . $$ Si elige $\ x=1\ $ el resultado es $$ \max(1-2y,-y)=1-2y\ . $$ Así, el jugador $1$ puede garantizar una retribución esperada de $\ \frac{1}{3}\ $ eligiendo $\ x=0\ $ con probabilidad $\ \frac{2}{3}\ $ y $\ x=1\ $ con probabilidad $\ \frac{1}{3}\ $ ya que el beneficio esperado de esta estrategia es $$ \frac{2}{3}y +\frac{1}{3}(1-2y)= \frac{1}{3} $$ para todos $\ y\in[0,1]\ $ .

Por otra parte, si el jugador $2$ elige $\ y= \frac{1}{3}\ $ con probabilidad $1$ entonces la recompensa para el jugador $1$ se convierte en \begin{align} \max\left(\frac{x}{3}, \frac{1-2x}{3}\right)\le \frac{1}{3} \end{align} para todos $\ x\in[0,1]\ $ . Por lo tanto, esta estrategia (pura) para el jugador $2$ evita que el jugador $1$ de obtener un pago esperado de cualquier más que $\ \frac{1}{3}\ $ .

De ello se deduce que las estrategias descritas anteriormente son óptimas para sus respectivos jugadores, y el valor del juego es $\ \frac{1}{3}\ $ (al jugador $1$ ).