si ni f ni g son diferenciables en x=a. es $f+g$ diferenciable en $x=a$ ?(2)

Question

Si ni f ni g son diferenciables en x=a. es $f+g$ diferenciable en $x=a$ ?

Mi respuesta: sí es diferenciable , porque de acuerdo a esta pregunta aquí: si ni f ni g son diferenciables en x=a. es $f+g$ diferenciable en $x=a$ ?

Si $f$ no es diferenciable, entonces $-f$ no es diferenciable (pero no entiendo exactamente por qué ? puede ser porque f no es diferenciable lo que significa que el límite de diferenciabilidad no existe para f y por lo tanto trivialmente no existe también para -f ..... ¿estoy en lo cierto? ). ahora f+(-f) = 0 que es una función diferenciable .... ¿estoy en lo cierto?

Answer 1

La condición de ser no diferenciable se refleja en la desigualdad de las derivadas de Dini,

$$D^+f(a) = \limsup_{h \to 0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ D_+f(a) = \liminf_{h \to 0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ D^-f(a) = \limsup_{h \to 0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\ D_-f(a) = \liminf_{h \to 0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Las cuatro derivadas de Dini siempre existen (posiblemente como números reales extendidos), pero sólo cuando todas son iguales la función es diferenciable.

Tenga en cuenta que $D^+f(a) = - D_+(-f)(a),$ etc., y entonces es fácil demostrar que si dos derivadas Dini cualesquiera de $f$ no son iguales, entonces un par de derivadas Dini de $-f$ no son iguales.