Dado un triángulo $\triangle ABC$ con un punto interno $K$ encuentra $\angle AKC$ .

Question

Como sugiere el título, se trata de encontrar la medida de $\angle AKC$ en el triángulo $\triangle ABC$ con un punto interno $K$ y algunos ángulos dados.

Este es un problema bastante desafiante, voy a publicar mi solución a continuación como una respuesta, pero no estoy seguro de si mi respuesta es correcta y si mi método es correcto. Por favor, comparta sus propias respuestas y enfoques. Quiero ver si mi respuesta es correcta y si hay otras maneras de llegar a una respuesta.

Answer 1

Este es mi enfoque:

1.) Utilización de $BC$ como base, construye un triángulo equilátero $\triangle BDC$ tal que el punto $D$ se encuentra fuera de $\triangle ABC$ Por lo tanto $AB=BC=BD=CD$ . Observe que $\angle BKC=150^\circ$ . Esto significa que, según el teorema del ángulo inscrito, $DK=BD=CD=BC$ (se puede demostrar fácilmente ampliando el triángulo equilátero de abajo y luego utilizando las propiedades de los cuadriláteros cíclicos).

2.) Lo anterior implica que, también según el teorema del ángulo inscrito, que $\angle KDC=24^\circ$ y que $\angle KDB=36^\circ$ . Observe que $\angle ABD=108^\circ$ así como $\angle KDB=36^\circ$ y $AB=BD$ esto implica directamente que $AKD$ es una línea recta (esto es bastante intuitivo, pero también se puede demostrar fácilmente mediante una contradicción). Por lo tanto, $\triangle ABD$ es un triángulo isósceles, por lo que $\angle BAD=36^\circ$ y $\angle KAC=30^\circ$ Por lo tanto $X=\angle AKC=102^\circ$

Answer 2

Tenemos $\angle ABC = 66^\circ$ y $\angle AKC = 150^\circ$ . Supongamos que $BC = 1$ entonces $AC = \frac{\sin 48^\circ}{\sin 66^\circ} = \frac{\sin 48^\circ}{\cos 24^\circ} = 2 \sin 24^\circ$ y $KC = \frac{\sin 12^\circ}{\sin 150^\circ} = 2\sin 12^\circ$ .

Ahora $$AK^2 = AC^2 + KC^2 - 2AC \cdot KC \cdot \cos \angle ACK = 4\sin^2 24^\circ + 4\sin^2 12^\circ - 8 \sin 12^\circ \sin 24^\circ \cos 48^\circ.$$

Tenga en cuenta que $\sin^2 12^\circ = \frac{(1 - \cos 24^\circ)}{2}$ y $\sin 12^\circ \cos 48^\circ = \frac{(\sin 60^\circ - \sin 36^\circ)}{2}$ . Ahora todo está en $24^\circ$ y $36^\circ$ y se pueden calcular los valores El resultado es $\frac{(3 - \sqrt{5})}{2}$ . Así que $AK = \frac{(\sqrt{5} - 1)}{2}$ .

$$\cos X = \frac{AK^2 + KC^2 - AC^2}{2AK \cdot KC}$$

Calcula de nuevo y obtén $\cos X = -\frac{\sqrt{7 - \sqrt{5} - \sqrt{30 - 6\sqrt{5}}}}{4}$ . Compare esto con una tabla cos y obtenga $X = 102^\circ$ .

Answer 3

Su respuesta es correcta.

De forma no sintética, trigonométrica. Por la ley del triple de los senos de la figura podemos tener $$\sin18^{\circ}\sin36^{\circ}\sin(132^{\circ}-X)=\sin12^{\circ}\sin48^{\circ}\sin(X-66^\circ).$$ Mediante la observación $\sin12^{\circ}\sin48^{\circ}=\sin18^{\circ}\sin30^{\circ}$ vemos que la solución es $X=102^{\circ}$ .

Answer 4

Aquí está el método Trig Ceva, como usted pidió. Que $\theta=\angle CAK$ . Por una simple persecución angular, $\angle BAC = 66$ de modo que $\angle BAK=66-\theta$ . Luego por Trig Ceva:

$$\frac{\sin(66-\theta)}{\sin\theta}\frac{\sin 48}{\sin18}\frac{\sin 12}{\sin36}=1.$$ $$\frac{\sin(66-\theta)}{\sin\theta}=\frac{\sin18\sin36}{\sin48\sin12}$$ Como señala Bob Dobbs, esto se reduce a $$\frac{\sin(66-\theta)}{\sin\theta}=\frac{\sin 36}{\sin 30}$$ De lo cual se desprende que $\theta=30$ de modo que $\angle AKC = 102$ como quieras.