Teorema central del límite, cuándo sabemos si n no es suficientemente grande

Question

Estoy trabajando en una pregunta de estadística y no sé cómo responderla.

He aquí la pregunta

According to a survey conducted by the American Bar Association, 1 in every 410
Americans is a lawyer, but 1 in every 64 residents of Washington, D.C., is a lawyer.

(a) Use the Central Limit Theorem to approximate the probability that there is at
least one lawyer in a random sample of 1500 Americans. Is n = 1500 large enough
for the approximation to work well?

Usando el CLT, encontré que la respuesta era aproximadamente .95, pero no sé cómo determinar si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande para la aproximación? ¿Qué hay que tener en cuenta en este caso?

Answer 1

Puede calcular el exacto y compararla con la aproximación CLT. El número de abogados de una muestra de $1500$ tiene una distribución binomial con $n=1500$ y $p=1/410$ por lo que la probabilidad de que haya no abogados en su muestra es $$(1-p)^n=\left(1-\frac1{410}\right)^{1500}.$$ Reste esta cifra de $1$ para obtener la probabilidad exacta de al menos un abogado en su muestra.

Aparte: Cuando hiciste la aproximación CLT, ¿aplicaste la corrección de continuidad? (¿Conoces la corrección de continuidad?)

Answer 2

$Exact\; Binomial$ : Según la respuesta de @grand_chat. Sea el número de abogados en una muestra aleatoria de 1500 estadounidenses sea $X \sim Binom(1500, 1/410)$ . Buscamos $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0).$ De R, tenemos:

 1 - (409/410)^1500
 ## 0.9743447
 1 - dbinom(0, 1500, 1/410)
 ## 0.9743447

$Poisson\; approximation\; to\; binomial$ . Debemos tener $\lambda = E(X) = 1500/410 = 3.658537,$ para que $Y \sim Pois(\lambda).$ De nuevo, buscamos $P(Y \ge 1) = 1 - P(Y=0).$

 1 - exp(-lam)
 ## 0.9742298
 1 - dpois(0, lam)
 ## 0.9742298

$Normal\; approximation$ . Para la distribución binomial, $\mu = np = 1500/410,$ $\sigma^2 = np(1-p) = \mu(409/410).$ Ahora dejemos que $W \sim Norm(\mu, \sigma).$ Buscamos $P(W \ge 1) = P(W > .5) = 1 - P(W < .5).$

 mu = 1500*(1/410);  var = mu*(409/410); sg = sqrt(var)
 1 - pnorm(.5, mu, sg)
 ## 0.9508693

Por supuesto $P(W > .5)$ se pueden encontrar en las tablas normales impresas normalizando: $P(W > .5) = P[Z = (W - \mu)/\sigma > (.5 - \mu)/\sigma)].$ Este parece ser el resultado obtenido. [Nota: La aplicación de la "corrección de continuidad nos lleva a buscar $P(W \ge .5)$ en lugar de $P(W \ge 1).$ ]

$Summary\; comments.$ La aproximación de Poisson es muy buena (véase la figura siguiente). Aunque la "regla habitual" para utilizar la aproximación normal, como se indica en el comentario en el comentario, la aproximación normal no es muy buena en este caso por dos razones adicionales (a) Se trata de una probabilidad en la cola de la distribución binomial. la distribución binomial, (b) estamos tratando con una distribución binomial sesgada ( $p$ lejos de 1/2). En la práctica estadística, la aproximaciones normales se utilizan con menos frecuencia que antes se disponía de programas informáticos para realizar cálculos exactos.

La siguiente figura muestra la distribución binomial (barras negras), su aproximación de Poisson (puntos morados) y la curva normal que coincide con la media y la varianza binomiales.