Función generadora y fórmula para el número de composiciones de $n$ en $k$ partes, cada una de las cuales es impar.

Question

Hallar la función generadora del número de composiciones de $n$ en $k$ partes, cada una de las cuales es impar. Aplica la manipulación algebraica y la expansión formal en serie de potencias de algunas funciones básicas para hallar una fórmula para el coeficiente de $x^n$ en la función generadora.

Tengo que la función generadora del número de composiciones proviene de $$(x+x^3+x^5+...)^k=\bigg(\frac{x}{(1-x^2)}\bigg)^k=x^k\sum_{n=0}^\infty\begin{pmatrix}n+k-1\\k-1\end{pmatrix}x^{2n}$$ y creo que la fórmula a la que quiero llegar también con el tiempo es $$\begin{cases} 0,&\text{if }n-k\text{ is odd}\\\\ \dbinom{\frac{n+k}2-1}{\frac{n-k}2},&\text{if }n-k\text{ is even}\;. \end{cases}$$ No estoy seguro de cómo pasar de la primera fórmula a la segunda, ¡agradecería cualquier ayuda!

Answer 1

Te alegras de que la función generadora sea \begin{eqnarray*} \sum_{N=0}^{\infty} \binom{N+k-1}{k-1} x^{2N+k} \text{ ?} \end{eqnarray*} Esto significa que hay $ \binom{N+k-1}{k-1}$ composiciones (en $k$ partes impar) de $n$ donde $n=2N+k$ . Así que $n-k$ tiene que ser par (& el número de vías será cero si es impar) ... Un poco de álgebra te llevará a la conclusión que necesitas.