"Área" de la topologist de la curva sinusoidal

Question

Considerar la topologist de la curva sinusoidal:

$$ f(x) = \sin\left(1 \sobre x \right), x \neq 0 $$

La gráfica de esta función se asemeja a una curva de rellenado de espacio cerca de $x=0$. No es un espacio de llenado de la curva, sin embargo, porque no importa qué tan cerca estamos del eje, siempre hay puntos que no se incluyen en la curva (es decir,$\forall x \neq 0 \exists y \neq \sin(1/x)$). De hecho, "la mayoría de los" puntos en cualquier intervalo de tiempo dado no son parte de la curva, creo. Es allí una manera significativa para expresar la "zona" que esta curva llena o aparece llenar?

De manera más informal, cuánto de esta imagen es de color azul?

Answer 1

Ross Millikan ha observado que la zona [= Lebesgue planas de medida] de la curva de seno es cero. Por el mismo proceso de Ross Millikan, uno puede mostrar que la dimensión de Hausdorff es$1,$, que es mucho más fuerte declaración que decir tiene planas de medida cero. De hecho, ha $\sigma$-finito Hausdorff $1$-medida, que también le impide tener dimensión de Hausdorff "logarítmicamente mayor que" $1.$ sin Embargo, para algunos más sensibles a los tipos de dimensión, la curva sinusoidal se han dimensión mayor que $1.$

Azcan/Kocak/Orhun/Üreyen [1] demostrar que el cuadro de conteo de dimensión [= Minkowski dimensión] de la gráfica de $y = \sin(1/x)$ existe y es igual a $\frac{3}{2}.$ Este resultado también es demostrado en Goluzina/Lodkin/Makarov/Podkorytov [2] (Problema VIII.5.4 b, p. 100; solución de las páginas 282-283) y se afirma en Tricot [3] (Sección 10.4), páginas 121-122). De hecho, Tricot [3] se observa de manera más general que para $0 < \alpha < \beta,$ la gráfica de $y = x^{\alpha}\cos\left(x^{- \beta}\right)$ (y, por tanto, de la correspondiente función SENO) tiene un cuadro-dimensión que existe y es igual a $2 - \frac{\alpha + 1}{\beta + 1}.$

[1] Hüseyin Azcan, Sahin Kocak, Nevin Orhun, y Mehmet Üreyen, El cuadro de contar la dimensión del seno de la curva, Mathematica Slovaca 49 (1999), 367-370.

[2] M. G. Goluzina, A. A. Lodkin, B. M. Makarov, y A. N. Podkorytov, Problemas Seleccionados en el Análisis Real, Traducciones de Matemática Monografías #107, Sociedad Matemática Americana, 1992, x + 370 páginas.

[3] Claude Tricot, Curvas y la Dimensión Fractal, Springer-Verlag, 1995, xiv + 323 páginas.

Answer 2

El área de la curva es cero. Puede dividir el intervalo de $(0,1]$ en countably muchos intervalos de un cruce por cero para la próxima, a continuación, mostrar que el área de la curva es cero en ese intervalo. Como el área es countably aditivo, el total es cero. La curva sólo aparece el espacio de llenado porque lo sacamos con anchura finita.