Láminas y haces vectoriales localmente libres sobre curvas proyectivas lisas conectadas

Question

Sea $X$ sea una curva proyectiva lisa conexa sobre un campo algebraicamente cerrado $K$ . Sea $\mathcal{F}$ sea una gavilla localmente libre en $X$ y $\mathcal{E}$ una subsección de $\mathcal{F}$ que también es localmente libre, ya que $dim(X)=1$ . Sea $E,F$ sean los correspondientes haces vectoriales asociados a $\mathcal{E},\mathcal{F}$ respectivamente.

Definición: En subconjunto vectorial de $F$ generados genéricamente por $E$ es un subconjunto vectorial $\bar{E}\subset F$ que es el haz vectorial asociado al haz localmente libre $\bar{\mathcal{E}}:=\pi^{-1}\bigg(\mathcal{T}\big(\mathcal{F}/\mathcal{E}\big)\bigg)$ donde $\pi:\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{F}/\mathcal{E}$ es la proyección y $\mathcal{T}\big(\mathcal{F}/\mathcal{E}\big)$ es la subserie de torsión del cociente.

Pregunta 1

¿Por qué $\mathcal{F}/\bar{\mathcal{E}}$ ¿libre de torsión (y, por tanto, libre localmente)?

Utilizando esta propiedad obtenemos que $\bar{E}$ es un subfondo vectorial de $F$

Pregunta 2

¿Por qué las siguientes ecuaciones: $\quad rk(\bar{\mathcal{E}})=rk(\mathcal{E})\qquad deg(\bar{\mathcal{E}})\ge deg(\mathcal{E})\quad$ ¿aguantar? ¿Son válidas en general cuando se trata de la imagen inversa de una gavilla o son un caso especial?

Answer 1

¡Bienvenido a MathOverflow!

Pregunta 1 : esto puede comprobarse localmente, en aperturas afines o anillos locales, y entonces se convierte en un ejercicio: si $0 \to M' \to M \overset{\pi}{\to} M'' \to 0$ es una secuencia exacta de $R$ -entonces el submódulo de $M$ generado por $M'$ y $\pi$ -preimagen de torsión en $M''$ tiene cociente libre de torsión. (Por ejemplo, para finitely-generated $\mathbb{Z}$ -módulos un submódulo que tiene cociente libre de torsión se llama primitivo, y todo submódulo puede ampliarse para convertirse en primitivo mediante esta construcción).

Pregunta 2 la afirmación del rango puede comprobarse localmente de nuevo; se deduce del hecho de que los módulos de torsión tienen rango cero, por definición. Para la afirmación del grado, calculamos utilizando la aditividad del grado en secuencias exactas cortas $$ \deg(\overline{\mathcal{E}}) = \deg(\mathcal{F}) - \deg(\mathcal{(\mathcal{E}/\mathcal{F}})/\mathcal{T}) = \deg(\mathcal{F}) - \deg(\mathcal{\mathcal{E}/\mathcal{F}}) + \deg(\mathcal{T}) \ge \deg(\mathcal{E}) $$ donde utilizamos que el grado de una torsión-hoja es no negativo (de hecho, positivo si es distinto de cero).

Esperemos que este argumento también insinúe lo que ocurre con las preimágenes de las láminas en general...