¿Podría derivarse directamente la ecuación de Navier-Stokes de la ecuación de Boltzmann?

Question

Sé cómo derivar las ecuaciones de Navier-Stokes a partir de la ecuación de Boltzmann en el caso de que los coeficientes de masa y viscosidad se fijen en cero. Sólo necesito multiplicarlo en el momento y para integrarlo sobre las velocidades.

Pero cuando he intentado derivar ecuaciones NS con coeficientes de viscosidad y masa, he fracasado. La mayoría de los libros de texto contienen las siguientes palabras: "para tener en cuenta el intercambio de partículas entre las capas del fluido necesitamos modificar el tensor de densidad de flujo de momento". Así que afirman que las ecuaciones NS con viscosidad no se pueden derivar de la ecuación de Boltzmann, ¿verdad?

La ecuación objetivo es $$ \partial_{t}\left( \frac{\rho v^{2}}{2} + \rho \epsilon \right) = -\partial_{x_{i}}\left(\rho v_{i}\left(\frac{v^{2}}{2} + w\right) - \sigma_{ij}v_{j} - \kappa \partial_{x_{i}}T \right), $$ donde $$ \sigma_{ij} = \eta \left( \partial_{x_{[i}}v_{j]} - \frac{2}{3}\delta_{ij}\partial_{x_{i}}v_{i}\right) + \varepsilon \delta_{ij}\partial_{x_{i}}v_{i}, $$ $w = \mu - Ts$ corresponde a la función calor, $\epsilon$ se refiere a la energía interna.

Edita. Parece que tengo esta ecuación. Después de multiplicar la ecuación de Boltzmann en $\frac{m(\mathbf v - \mathbf u)^{2}}{2}$ e integrándolo sobre $v$ Tengo una ecuación de transporte que contiene objetos $$ \Pi_{ij} = \rho\langle (v - u)_{i}(v - u)_{j} \rangle, \quad q_{i} = \rho \langle (\mathbf v - \mathbf u)^{2}(v - u)_{i}\rangle $$ Para calcularlo necesito conocer una expresión para la función de distribución. Por simplicidad he utilizado la aproximación tau; al final he obtenido la expresión $f = f_{0} + g$ . Una expresión para $\Pi_{ij}, q_{i}$ están representados por $$ \Pi_{ij} = \delta_{ij}P - \mu \left(\partial_{[i}u_{j]} - \frac{2}{3}\delta_{ij}\partial_{i}u_{i}\right) - \epsilon \delta_{ij}\partial_{i}u_{i}, $$ $$ q_{i} = -\kappa \partial_{i} T, $$ para obtener el resultado deseado.

Answer 1

Creo que tenías razón. El término viscoso en las ecuaciones NS no puede derivarse de las ecuaciones de Boltzmann. Si derivas las leyes de conservación a partir de las ecuaciones de Boltzmann utilizando la aproximación de primer orden, obtendrás un término de fuerza, que debería incluir la presión, las fuerzas viscosas y las fuerzas externas que aparecen en las ecuaciones NS.

Creo que la aproximación del término viscoso en las ecuaciones NS (tensión viscosa relacionada con el gradiente de velocidad) se construyeron desde una perspectiva de continuo, con la forma tensorial satisfaciendo ciertas propiedades simétricas de un tensor de tensión. Véase por ejemplo "An Introduction to Fluid Dynamics" de G. K. Batchelor para una buena discusión.

Sin embargo, lo que he visto es la derivación de la viscosidad suponiendo un perfil de velocidad a partir de la ecuación de Boltzmann linealizada. Es una pregunta del libro de texto "Física Estadística de las Partículas" de Kardar, Cap. 3 preguntas 9.

Answer 2

Para abordar específicamente una pregunta más reciente que se cerró como duplicado de éste:

• En efecto, la ecuación de Boltzmann se basa en la hipótesis de caos molecular , lo que significa que las velocidades de las partículas no están correlacionadas antes de la colisión, pero no excluye las colisiones y la transferencia de energía, que conducen a la disipación (en particular, a la viscocidad).
• Desde el punto de vista de la Jerarquía de ecuaciones BBGKY , la ecuación de Boltzmann y el caos molecular implican trascender esta jerarquía y asumir una forma específica de la integral de colisión en las ecuaciones de primer orden. Sin embargo, en ocasiones se utiliza el término ecuación de Boltzmann para la primera ecuación de esta jerarquía sin especificar explícitamente la forma del término de colisión, lo que, en principio, permite obtener resultados que van más allá de la suposición de caos molecular. Artículo de Wikipedia sobre la teoría Champan-Enskog .
• En el supuesto de equilibrio termodinámico local la integral de colisión es cero, y tal ecuación de Boltzmann sin colisión resulta en ecuaciones hidrodinámicas sin términos viscosos (es decir, Ecuaciones de Euler ).
• Relajar la suposición de equilibrio termodinámico local, es decir, tener en cuenta la relajación local a la distribución de equilibrio local, permite derivar las ecuaciones de Navier-Stokes. Véase, por ejemplo estas notas para una breve introducción y esta revisión para un tratamiento más riguroso.