La respuesta de Willie Wong en esta entrada afirma que el análisis no estándar (ANE) es una "extensión conservadora" del análisis estándar (AE), lo que significa que toda afirmación demostrable en ANE que pueda interpretarse como una afirmación puramente en AE también es demostrable dentro de AE únicamente.
Esta idea me parece genial. ¿Dónde puedo encontrar una prueba de este hecho? Además, ¿cuál es el tema que permite incluso que este tipo de cosas sean demostrables?
Bienvenido a lógica matemática - específicamente, teoría de modelos ¡!
En realidad, no es posible comprender plenamente este resultado sin conocer los fundamentos del tema; sin embargo, permítanme dar una idea general de lo que está en juego.
Primera etapa: elección del contexto . Análisis claramente no estándar no es una extensión conservadora del análisis estándar - ¡"hay un infinitésimo" es falso clásicamente pero verdadero no estándar!
Cuando hacemos lógica, restringimos la atención a sólo determinadas propiedades . La lógica relevante aquí es lógica de primer orden . Esto es suficiente para desarrollar la mayor parte del análisis clásico, pero también tiene algunas limitaciones serias. Sin embargo, estas limitaciones también pueden considerarse características positivas, ya que nos permiten realizar diversas construcciones que a priori no parecen posibles. La característica relevante aquí es el teorema de la compacidad . En realidad no no voy a decir nada sobre lo que es, sino que quiero centrarme en lo que es. hace aquí, ya que creo que esto hará que esta respuesta en última instancia, más legible.
Segunda etapa: de las estructuras a las teorías . Fijando un conjunto de "frases expresables", pasamos a continuación a semántica ¿Cuándo es cierta una frase determinada? En concreto, cada estructura (término con una definición precisa) $\mathcal{A}$ tiene su correspondiente teoría $Th(\mathcal{A})$ formado por todas las frases consideradas verdaderas en $\mathcal{A}$ . Esto da lugar a una noción de "similitud" entre estructuras, que es mucho más flexible que la noción habitual de "isomorfismo" (que básicamente dice que las dos estructuras en cuestión son idénticas, pero "nombradas de forma diferente"): decimos $\mathcal{A}\equiv \mathcal{B}$ si $Th(\mathcal{A})=Th(\mathcal{B})$ es decir, si nuestra lógica no puede distinguirlos.
Tercer paso: crear un ANE . La situación en la que nos encontramos ahora es la siguiente: tenemos una estructura que nos interesa - la línea real actual $\mathbb{R}$ - y queremos analizarlo. Para saber si una frase $\varphi$ es cierto en $\mathbb{R}$ bastaría con saber si $\varphi$ es cierto en algunos $\mathfrak{R}$ mientras $\mathfrak{R}\equiv\mathbb{R}$ . Esto plantea dos cuestiones:
¿Qué puede hacer que $\mathfrak{R}$ ¿más fácil de analizar?
¿Cómo podemos $\mathfrak{R}$ ?
El primer punto queda claro al leer los argumentos en NSA: la presencia de infinitesimales simplifica drásticamente los argumentos. El segundo punto es donde entra en juego el teorema de la compacidad: el teorema de la compacidad es exactamente lo que dice que podemos producir tal $\mathfrak{R}$ ¡!
Qué hacer ahora . Espero que lo anterior haya aclarado un par de cosas: cuál es el tema que sienta las bases de la NSA, cuál es la forma de la prueba del hecho relevante, y el teorema principal específico en el que se basa dicha prueba; también espero que el primer párrafo del paso uno indique que todo este tinglado tiene serias limitaciones y debemos tener cuidado al razonar con él. El siguiente paso es aprender los fundamentos de la teoría de modelos. En realidad, esto es todo básico teoría de modelos: ¡es bastante factible llegar al desarrollo formal del análisis no estándar en relativamente poco tiempo!
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