Hacer una curva elíptica a partir de un polinomio cúbico hizo un cubo, o $ax^3+bx^2+cx+d = y^3$

Question

Cuál es la transformación tal que un polinomio cúbico general que se haga un cubo,

$$ax^3+bx^2+cx+d = y^3\tag{1}$$

puede transformarse a la forma de Weierstrass,

$$x^3+Ax+B = t^2\tag{2}$$

(El caso especial $b = c = 0$ es más fácil). Dado un punto racional inicial, conozco un método para encontrar los siguientes, pero estaría bien conocer la transformación general. Por ejemplo,

$$3x^3+9x^2+15x+9 = y^3\tag{3}$$

Me parece que,

$$x_1 = 3$$

$$x_2 = -1839/1871$$

$$x_3 = -13898941449153/12222218425537$$

y así sucesivamente. (Puede que me haya saltado algunos puntos.) Pero ¿cómo se transforma $(3)$ a $(2)$ ?

Posdata (Tras la respuesta de Jyrki)

Para los interesados, el cubo $(3)$ en forma de dos variables es equivalente a,

$$3p^3+9p^2q+15pq^2+9q^3 =\; p^3 + (p+q)^3+(p+2q)^3 = t^3$$

o tres cubos (no necesariamente positivos) en los progamas aritméticos. Así, $p,q = 3,1$ da el conocido,

$$3^3+4^3+5^3 = 6^3$$

y $p,q = -1839, 1871$ rendimientos,

$$(-1839)^3+(-1839+1871)^3+(-1839+2\cdot1871)^3 = 876^3$$

Answer 1

El punto $P=(x,y)=(-1,0)$ es un punto de inflexión en el sentido de que la línea $x=-1$ hace un contacto triple allí. Esto lo convierte en un candidato principal para ser trasladado al punto en el infinito. Recordando que en la forma de Weierstrass las dos coordenadas tienen polos de órdenes $2$ y $3$ respectivamente en el punto del infinito (siguiendo el proceso conocido esbozado, por ejemplo, en la demostración de la Proposición 3.1. del capítulo 3 en La aritmética de las curvas elípticas GTM#106 por J.Silverman) esto sugiere que el par $$ u=\frac1{x+1},\qquad v=\frac{y}{x+1} $$ como nuevas coordenadas. Estas se eligen para tener polos de órdenes $3$ y $2$ en $P$ y ningún otro polo. Esto está claro en el caso de $u$ . Para ver que $v$ no tiene otros polos observamos que su curva tiene tres puntos en el infinito con coordenadas homogéneas coordenadas $$[X_0:X_1:X_2]=[1,\omega^k\root3\of3:0],$$ $\omega=e^{2\pi i/3}, k=0,1,2$ , donde $v$ podría llegar al infinito. Pero vemos que la relación $v=y/(x+1)=X_1/(X_0+X_2)$ está bien definida y es finita en todos esos puntos, por lo que ninguno de esos puntos son polos de $v$ . Además, $y$ es un parámetro local en $P$ por lo que el polo de $v$ en $P$ es de orden $2$ .

De hecho, el cálculo $$ v^3=\frac{y^3}{(x+1)^3}=\frac{3(x+1)[(x+1)^2+2]}{(x+1)^3}=3+\frac{6}{(x+1)^2}=3+6u^2 $$ muestra entonces que se puede escribir la curva en la forma $$ 6u^2=v^3-3. $$ Para llegar a la forma de Weierstrass debemos multiplicar esta ecuación por $6^3=216$ . Esto nos da $$ (36u)^2=6^4u^2=216v^3-348=(6v)^3-3\cdot216. $$ Por lo tanto, las coordenadas finales deberían ser $X=6v$ y $Y=36u$ y la forma Weierstrass $$ Y^2=X^3-648. $$ En total, la transformación fue $$ X=\frac{6y}{x+1},\qquad Y=\frac{36}{x+1}. $$ Así, por ejemplo, el punto $Q=(x,y)=(3,6)$ en las coordenadas originales se convierte en $(X,Y)=(9,9).$ Como la curva está ahora en forma de Weierstrass, $-Q=(X,Y)=(9,-9)$ es otro punto racional con coordenadas originales $(x,y)=(-5,-6).$ Por supuesto, también se podría hacer la operación de grupo de la curva en las coordenadas originales utilizando el punto $P$ como elemento neutro. Los tres puntos en el infinito en las coordenadas originales se han convertido ahora en los tres puntos con $Y=0$ .

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Si se parte de un punto que no es un punto de inflexión, las funciones con los polos prescritos siguen existiendo por Riemann-Roch. Sin embargo, encontrarlos requiere un poco más de trabajo. Con un punto de inflexión se puede empezar con la tangente, y la vida es más sencilla.

Answer 2

El algoritmo general para transformar una cúbica en forma de Weierstrass, con varios ejemplos trabajados, puede encontrarse en la sección 1.4 del libro de Ian Connell Manual de la curva elíptica