Si tomo derivadas parciales de una función utilizando la regla de la cadena, ¿cómo elimino la variable de los parciales de la ecuación?

Question

Tengo la función $$f(tx,ty)$$ y quiero tomar la derivada parcial de esto con respecto a $t$ . Así que fija $x'=xt$ y $y'=yt$ . He aplicado la regla de la cadena y he obtenido

$$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial t}$$

que da como resultado

$$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x'}x +\frac{\partial f}{\partial y'}y$$

Pero, ¿cómo lo evalúo? Sigue siendo en términos de $x'$ y $y'$ . ¿Cómo lo obtengo en términos de parciales de $x$ y $y$ ?

Answer 1

Tu notación me parece un poco confusa, así que la repetiré con la notación a la que estoy acostumbrado:

$$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$$

Como usted dice, esto es todavía en términos de $x$ y $y$ al menos en parte, como $\frac{\partial f}{\partial x}$ . Pero $x$ es función de $t$ por lo que puede sustituir $x$ para esa función, y lo mismo para $y$ .

Por ejemplo, si $f(x,y)=xy^2$ y $x=\sin t$ y $y=e^t$ entonces

$$\frac{\partial f}{\partial t} = (y^2)(\cos t) + 2xy(e^t)$$

$$=e^{2t}\cos t+ 2(\sin t)(e^{t})(e^t)$$