Por favor, no me des una respuesta completa a la parte de motivación de la pregunta. Quiero averiguar esa parte por mí mismo.
Motivación: Como ejemplo inicial, digamos que una función de inversión es una función unaria sobre un conjunto de $n$ -secuencias de longitud sobre un conjunto no vacío $X$ que mapearía $\langle x_1, x_2, x_3, x_4 \rangle$ a $\langle x_4, x_3, x_2, x_1 \rangle$ para $n=4$ . Quiero una función que invierta secuencias infinitas. Con esto quiero decir que quiero intercambiar entre sí los valores de la primera y la última posición, intercambiar entre sí los valores de la segunda y la penúltima posición, etc. Me doy cuenta de que "última posición" es una noción complicada para una secuencia infinita. Sin embargo, espero que tal función pueda existir por compacidad, ya que existen funciones que invierten la primera $n$ posiciones de una secuencia infinita para cada $n$ . Más concretamente, quiero definir el n $^{th}$ operación de inversión unaria $r_n$ en un conjunto $X^\mathbb{N}$ de secuencias infinitas sea la operación que mapea $\langle x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n, x_{n+1}, \ldots \rangle$ a $\langle x_n, x_{n-1}, \ldots, x_{2}, x_1, x_{n+1}, \ldots \rangle$ . Puedo definirlo con más precisión. Esta parte no es mi pregunta.
Pregunta: Al querer utilizar el teorema de compacidad para el problema anterior ha surgido una pregunta sobre otro argumento de compacidad que establece la existencia de un campo ordenado que contiene infinitesimales. Definamos un conjunto $T$ de oraciones de primer orden de forma inductiva utilizando conjuntos $T_n$ :
\begin{align} T_0 &= \text{ the axioms for an ordered field} \\ T_1 &= T_0 \cup \exists x [0 < x < 1] \\ T_2 &= T_1 \cup \exists x [0 < x < 1/2] \\ T_n &= T_{n-1} \cup \exists x [0 < x < 1/n] \\ T &= \bigcup_n^\infty T_n \end{align}
El argumento es que, dado que existe un modelo de cada (finito) $T_n$ (el campo real funcionará), existe un modelo de (infinito) $T$ por compacidad. Además, el modelo de $T$ contiene infinitesimales, es decir, números positivos menores que cada $1/n$ porque esto es lo que afirman en conjunto los enunciados de existencia.
Mi pregunta es qué ocurre exactamente con el símbolo de relación de orden binario $<$ en las sentencias de existencia. Las frases anteriores están todas en el mismo idioma, así que supongo que se trata del mismo símbolo exacto en cada frase. Para utilizar la compacidad, ¿las interpretaciones de todos los símbolos no lógicos tienen que ser las mismas en todos los subconjuntos finitos? Parece un requisito demasiado estricto, pero ¿qué se exige exactamente? ¿Hasta qué punto importa a qué se asigna un símbolo de relación o de función, por ejemplo, tiene que asignarse un símbolo a conjuntos isomórficos (quizá en dominios diferentes)? Si hay restricciones, ¿cómo se especifican? Además, ¿cómo se relacionan las interpretaciones utilizadas para los subconjuntos finitos con las propiedades de todo el conjunto de oraciones, como se hizo en la afirmación sobre los infinitesimales? En mi ejemplo se entiende que $<$ obtiene esencialmente las mismas interpretaciones o interpretaciones compatibles para cada $n$ .
Para mi problema motivador, esto es importante porque la $r_n$ como las he definido anteriormente son funciones muy diferentes para cada $n$ . No son extensiones o supersets o relacionados de ninguna manera agradable por lo que puedo decir.
