Una pregunta sobre el comportamiento asintótico de dos funciones

Question

Si decimos que $f(x)={x + 1\over x}$ y $g(x)=\sqrt[x]{x}$ . Es evidente que: $$\lim_{x\to\infty} f(x)= \lim_{x\to\infty}g(x)=1$$ Pero, mi pregunta es: ¿cuál de estas funciones tiende a $1$ ¿el más lento?

Answer 1

Obsérvese que, para todo $x > 0$ , $$\frac{x+1}x = 1 + \frac 1 x, \qquad x^{1/x} = \exp\left(\frac{\ln x}x \right) = 1 + \frac{\ln x}{x} + \frac{(\ln x)^2}{ 2x^2} + \mathcal O(x^{-3})$$ Ignorar todos los términos de orden $x^{-2}$ en la serie de Taylor de la segunda igualdad (todos son positivos, por lo que no entorpecen nuestro razonamiento), para todas las $x > e$ tenemos $\ln x > 1$ Así que $$\frac{\ln x}{x} > \frac 1 x,$$ que implica $f(x) < g(x)$ para todos $x > e$ . Como ambos $f$ y $g$ son monótonas en $[e,\infty)$ podemos concluir que $1 < f(x) < g(x)$ Eso es, $f(x)$ siempre estará más cerca de $1$ que $g(x)$ para un tamaño suficiente $x$ .