¿Por qué nos importa que un proceso MA sea invertible?

Question

Me cuesta entender por qué nos importa si un proceso MA es invertible o no.

Por favor, corríjanme si me equivoco, pero puedo entender por qué nos importa si un proceso AR es causal o no, es decir, si podemos "reescribirlo", por así decirlo, como la suma de algún parámetro y ruido blanco, es decir, un proceso de media móvil. Si es así, podemos ver fácilmente que el proceso AR es causal.

Sin embargo, me cuesta entender por qué nos importa si podemos o no representar un proceso MA como un proceso AR demostrando que es invertible. Realmente no entiendo por qué nos importa.

Cualquier idea sería estupenda.

Answer 1

La invertibilidad no es realmente un gran problema porque casi cualquier MA gaussiano, no invertible $(q)$ puede cambiarse a un modelo MA invertible $(q)$ modelo que representa el mismo proceso cambiando los valores de los parámetros. Esto se menciona en la mayoría de los libros de texto para el modelo MA(1), pero es cierto en términos más generales.

A modo de ejemplo, consideremos el modelo MA(2) $$ z_t = (1-0.2B)(1-2B)w_t, \tag{1} $$ donde $w_t$ es ruido blanco con varianza $\sigma_w^2$ . No se trata de un modelo invertible porque $\theta(B)$ tiene una raíz igual a 0,5 dentro del círculo unitario. Sin embargo, consideremos el modelo alternativo MA(2) que se obtiene cambiando esta raíz por su valor recíproco de 2, de forma que el modelo adopta la forma $$ z_t = (1-0.2B)(1-0.5 B)w_t' \tag{2} $$ donde $w_t'$ tiene varianza $\sigma_w'^2=4\sigma_w^2$ . Se puede comprobar fácilmente que los modelos (1) y (2) tienen ambos las mismas funciones de autocovarianza y, por tanto, especifican la misma distribución para los datos si el proceso es gaussiano.

Para realizar el modelo identificable tal que existe una correspondencia unívoca entre $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q,\sigma_w^2$ a la distribución de los datos, por lo que el espacio de parámetros se restringe por convención al de los modelos invertibles. Se prefiere esta convención particular, ya que entonces el modelo puede ponerse directamente en AR $(\infty)$ con coeficientes $\pi_1,\pi_2,\dots$ que satisface la ecuación de diferencia simple $\theta(B)\pi_i=0$ .

Si no impusiéramos esta restricción en el espacio de parámetros, la función de verosimilitud de un MA $(q)$ tendría en general hasta $2^q$ óptimos locales (si el polinomio MA tiene $q$ raíces reales distintas), que es algo que queremos evitar.

Siempre se pueden mover las raíces de dentro a fuera del círculo unitario con un cambio correspondiente en la varianza del ruido blanco utilizando la técnica anterior, excepto en los casos en los que el polinomio MA tiene una o más raíces exactamente en el círculo unitario.