Métrica del taxi y topologías equivalentes

Question

Sea $\mathbb{R}^2$ donde $p \in \mathbb{R}^2$ es el par ordenado $(p_1, p_2)$ tienen la métrica del taxi, es decir, para $p,q \in \mathbb{R}^2, d(p,q) = |p_1 – q_1|\ +\ |p_2 – q_2|$ . Considere $\mathbb{R}^2$ con la topología inducida por $d$ .

Las siguientes métricas, $g(p,q)$ induce una topología equivalente en $\mathbb{R}^2$ : $g(p,q) = \max\{|p_1 – q_1|,|p_2 – q_2|\}$ - (Máximo métrico)
$g(p,q) = \sqrt{(p_1 – q_1)^2+(p_2 – q_2)^2}$ - (métrica euclidiana)
$g(p,q)= \begin{cases} 0, & \text{if $p=q$} \\[2ex] |p_1 – q_1|\ +\ |p_2 – q_2|+1, & \text{if $p\neq q$} \end{cases} $

¿Son correctos? ¿Existen otras métricas "estándar" conocidas que induzcan una topología equivalente en $\mathbb{R}^2$ ?

Answer 1

Su tercera métrica no induce la misma topología. Por ejemplo, el conjunto $U_\frac{1}{2}(0) = \{0\}$ está abierta en la última topología, pero no en las demás. En general, todos los conjuntos son abiertos en la última topología. topología discreta .

La topología inducida por la métrica taxonómica, la métrica máxima y la métrica euclidiana se denomina topología euclidiana (o estándar) en $\mathbb{R}^2$ . Hay muchas otras métricas que inducen esta topología, por ejemplo la $l^p$ -métricas para $p > 0$ : $$d_p(x, y) = (|x_1 - y_1|^p + |x_2 - y_2|^p)^{\min(1, p^{-1})}$$

Esta clase contiene sus métricas como casos especiales. $p = 1$ es la métrica del taxi, $p = 2$ es la métrica euclidiana y en el límite $p \to \infty$ se obtiene la métrica máxima.

Hay muchas más métricas que inducen la topología euclidiana. Por ejemplo, una gran clase de conjuntos puede inducir la topología euclidiana mediante la métrica Funcional de Minkowski .

Answer 2

Una nota al pie de las otras A: Otras formas de generar métricas equivalentes:

(I). $d$ es una métrica en $X$ y $r>0$ entonces $e(p,q)= \min (r, d(p,q))$ es una métrica equivalente. Obsérvese que para $0<s<r/2$ el conjunto de $d$ -bolas de radio $s$ coincide con el conjunto de $e$ -bolas de radio $s.$

(II). Si $d$ es una métrica en $X$ entonces $e(p,q)=d(p,q)/(1+d(p,q))$ es una métrica equivalente.

(III). Teorema. Sea $(X,d)$ y $(Y,e)$ sean espacios métricos. Sea $f:X\to Y$ sea continua. Entonces para $p,q\in X,$ la función $d'(p,q)=d(p,q)+e(f(p),f(q))$ es una métrica en $X$ equivalente a $d.$

Demostramos esto mostrando, para $p\in X$ y $r>0,$ que existen $s,s'$ tal que $B_{d'}(p,s')\subset B_d(p,r)$ y $B_d(p,s)\subset B_{d'}(p,r).$ (La primera desigualdad es inmediata con $s'=r.$ El segundo requiere el uso de la continuidad de $f.$ )

Así, para cualquier métrica $d$ en $\mathbb R^2$ que genera la topología cartesiana, y cualquier continuo $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ (con la topología habitual en $\mathbb R$ ) podemos dejar que $e(p,q)=d(p,q)+|f(p)-f(q)|.$