¿Funciones exponenciales anteriores?

Question

Nos han enseñado que las funciones lineales, normalmente expresadas en la forma $y=mx+b$ cuando se da una entrada de 0,1,2,3, etc..., se puede pasar de una salida a la siguiente añadiendo alguna constante (en este caso, 1). $$ \begin{array}{c|l} \text{Input} & \text{Output} \\ \hline 0 & 1\\ 1 & 2\\ 2 & 3 \end{array} $$

Pero con las funciones exponenciales (que suelen expresarse en la forma $y=a\cdot b^x $ ), en lugar de sumar una constante, se multiplica por una constante. (En este caso, 2) $$ \begin{array}{c|l} \text{Input} & \text{Output} \\ \hline 0 & 1\\ 1 & 2\\ 2 & 4\\ 3 & 8 \end{array} $$ Pero... podemos seguir, ¿no? $$ \begin{array}{c|l} \text{Input} & \text{Output} \\ \hline 0 & 1\\ 1 & 2\\ 2 & 4\\ 3 & 16\\ 4 & 256 \end{array} $$ En este ejemplo, se cuadra la última salida para llegar a la siguiente. No encuentro una "forma general" para una ecuación de este tipo, ni tampoco mucha información en Internet. ¿Existe algún nombre para estas funciones? ¿Existe una forma general para ellas? ¿Y podemos seguir incluso más allá de estas 'funciones superexponenciales'?

Answer 1

Cada una de sus tablas se halla llevando 2 a la potencia de la tabla anterior (posiblemente con un desplazamiento de 1). Como la fórmula de la segunda tabla es $2^x$ la fórmula de la tercera tabla es $2^{2^{x-1}}$ (para $x \geq 1$ ).

Answer 2

El mapa satisface la relación de recurrencia $x_{n+1}={x_n}^2$ con caso base $x_1=2$ . Por retroceso o inducción se puede demostrar que $x_n=2^{2^{n-1}}$ para todos $n\in\mathbb{N}$ .

Answer 3

Observe que su tabla puede escribirse como

$$ \begin{array}{c|l} \text{Input} & \text{Output} \\ \hline 1 & 2^{2^{1-1}}\\ 2 & 2^{2^{2-1}}\\ 3 & 2^{2^{3-1}}\\ 4 & 2^{2^{4-1}} \end{array} $$

La tetración es la operación que podría decirse que sucede a la exponenciación. Como ejemplo, notacionalmente, si queremos representar "a a la a a la a" potencia, utilizamos

$$ ^4 a=a^{a^{a^a}}$$

Answer 4

Tu última tabla es incorrecta, y como otros han mencionado, la tetración sería la siguiente operación.

Para empezar, intentemos averiguar qué son y cómo funcionan este tipo de operaciones.

Tendremos en cuenta $x+2$ , $x\cdot2$ y $x^2$ .

¿Qué es la $x+2$ ? En términos sencillos, significa $x+1+1$ donde tenemos $2$ unos.

¿Qué es la $x\cdot2$ ? En términos de adición, es $x+x$ donde añadimos $x$ a sí mismo $2$ veces.

¿Qué es la $x^2$ ? En términos de multiplicación, es $x\cdot x$ donde multiplicamos $x$ a sí mismo $2$ veces.

A partir de aquí, hay una operación $H_n$ que $n$ nos dice a qué altura de este árbol de operaciones se encuentra. Para la suma, $n=-1$ . Para multiplicar, $n=0$ . Para la exponenciación, $n=1$ . Utilizaremos la base $2$ .

Pero ¿qué pasa con $H_2$ ? Bueno, como puedes imaginar, es una repetición de la exponenciación:

$$H_2(x)=x^x$$

Es simplemente $x$ elevado a sí mismo una cantidad de veces.

Definamos nuestra función un poco mejor. $H_n(x,b)$ donde $n$ es el "nivel". $x$ es la entrada, y $b$ es la base.

Ahora vemos que $H_2(x,2)=x^x$ .

Además, vemos que $H_2(x,3)=x^{x^x}$ y podemos hacer esto para cualquier número entero como base. Esto se llama tetration.

Lo que está más allá es la pentación:

$$H_3(x,2)=H_2(x,x)$$

Es difícil expresar algo así con la notación normal, e incluso con mi notación. Sin embargo, puedo definir la operación general:

$$H_n(x,b)=H_{n-1}(x,H_{n-1}(x,H_{n-1}(x,H_{n-1}(x,\dots1))))$$

Dónde aplicamos la operación $H_{n-1}$ $b$ veces. ¡Muy complicado!