¿Este teorema para las bases también es válido para las subbases?

Question

Supongamos que tenemos un espacio toológico $X$ con topología $\mathcal{T}$ . Si Y es un subespacio de X, entonces $\mathcal{T}_Y=\{Y\cap U|U \in \mathcal{T}\}$ es una topología en Y (que realmente es una topología, tiene que ser demostrado, no voy a hacer eso).

Hay un teorema que dice:

Si $\mathcal{B}$ es una base para la topología $\mathcal{T}$ entonces $\{B\cap Y|B \in \mathcal{B} \}$ i $\mathcal{T}_y$ .

Me pregunto si los mismos resultados son válidos para las subbases. Es decir:

Si $\mathcal{B}$ es un sub base de la topología $\mathcal{T}$ entonces $\{B\cap Y|B \in \mathcal{B} \}$ es un sub b $\mathcal{T}_y$ ?

He intentado probar esto, pero no estoy seguro de si es correcto, o cómo terminar?

En primer lugar tenemos que $\{B\cap Y|B \in \mathcal{B} \}$ es realmente una subbase, todo lo que tenemos que hacer para demostrarlo es que la unión es Y, pero como la unión de $\mathcal{B}$ es X ya que es una subbase en X, tenemos que la unión de $\{B\cap Y|B \in \mathcal{B} \}$ es Y, así que al menos tenemos una subbase en Y.

Así que tenemos que comprobar que la subbase realmente genera nuestra topología. Sea $\mathcal{T}_Y'$ sea la topología que genera la subbase. Cada elemento de $\mathcal{T}_Y'$ es una unión de intersecciones finitas de elementos en $\{B\cap Y|B \in \mathcal{B} \}$ ya que cada B está en $\mathcal{T}$ cada $B\cap Y$ está en $\mathcal{T}_Y$ por definición, ya que $\mathcal{T}_Y$ es una topología cerrada bajo uniones de intersecciones finitas. Por lo tanto, $\mathcal{T}_Y'\subset\mathcal{T}_Y$

Así que lo que hay que demostrar es que $\mathcal{T}_Y\subset\mathcal{T}_Y'$ y aquí tengo algunos problemas. Sea $Y\cap U\in \mathcal{T}_Y$ . Dado que U está en $\mathcal{T}$ es una unión de interesecciones finitas de elementos en $\mathcal{B}$ . Pero lo que entonces necesito es que:

$U$ es una unión de intersecciones finitas de elementos en $\mathcal{B}$ Por lo tanto $U\cap Y$ es la unión de intersecciones finitas de elementos en $\{B\cap Y|B \in \mathcal{B} \}$ . Pero, ¿cómo puedo demostrarlo? ¿O no es cierto?

Answer 1

Se podría utilizar la distributividad de $\cap$ en $\cup$ . Esto es válido incluso para uniones arbitrarias.

Edita:

Del hecho de que $U$ es una unión arbitraria (indexada por algún conjunto $I$ ) de intersecciones finitas de elementos de $\mathcal{B}$ se deduce que:

$$U \cap Y = Y \cap \Big( \bigcup_{i\in I} \big( \bigcap_{0\leq j \leq n_i} O_{i,j} \big) \Big) = \bigcup_{i\in I}\Big( Y \cap \big( \bigcap_{0\leq j \leq n_i} O_{i,j} \big ) \Big) = \bigcup_{i\in I}\Big( \bigcap_{0\leq j \leq n_i} \big( Y \cap O_{i,j} \big ) \Big)$$

Answer 2

Es cierto; las dificultades para demostrarlo son más notacionales que conceptuales y, si quiere, se lo puedo mostrar. Sin embargo, hay una manera más fácil de abordar el problema: utilizar el resultado conocido para las bases. Esto permite tratar sólo con intersecciones finitas: las uniones arbitrarias ya se han tratado al demostrar el teorema sobre bases.

Tienes un espacio $X$ una subbase $\mathscr{S}$ para la topología $\mathscr{T}$ en $X$ y un subespacio $Y$ con topología subespacial $\mathscr{T}_Y$ y quieres demostrar que $\mathscr{S}_Y=\{S\cap Y:S\in\mathscr{S}\}$ es una subbase de $\mathscr{T}_Y$ . Sea $\mathscr{B}$ sea la base de $\mathscr{T}$ generado por $\mathscr{S}$ (es decir, el conjunto de todas las intersecciones finitas de elementos de $\mathscr{S}$ ). Sea $\mathscr{B}_Y=\{B\cap Y:B\in\mathscr{B}\}$ ya sabe que $\mathscr{B}_Y$ es una base para $\mathscr{T}_Y$ así que estás acabado si puedes demostrar que $\mathscr{B}_Y$ es la base generada por $\mathscr{S}_Y$ es decir, que $B\in\mathscr{B}_Y$ si y sólo si existe un $\mathscr{F}\subseteq\mathscr{S}_Y$ tal que $B=\bigcap\mathscr{F}$ .

Supongamos en primer lugar que $\mathscr{F}$ es un subconjunto finito de $\mathscr{S}_Y$ y que $B=\bigcap\mathscr{F}$ . Para cada $S\in\mathscr{F}$ hay un $S'\in\mathscr{S}$ tal que $S=S'\cap Y$ Así que

$$B=\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{S\in\mathscr{F}}(S'\cap Y)=\left(\bigcap_{S\in\mathscr{F}}S'\right)\cap Y\in\mathscr{B}_Y\;,$$

desde $\bigcap_{S\in\mathscr{F}}S'\in\mathscr{B}$ .

Supongamos ahora que $B\in\mathscr{B}_Y$ . Entonces hay un $B'\in\mathscr{B}$ tal que $B=B'\cap Y$ . Según la definición de $\mathscr{B}$ existe un $\mathscr{F}'\subseteq\mathscr{S}$ tal que $B'=\bigcap\mathscr{F}'$ . Use esto para encontrar un $\mathscr{F}\subseteq\mathscr{S}_Y$ tal que $B=\bigcap\mathscr{F}$ completando así la prueba.