Densidad de una VNA cuya media se extrae de una Distribución Normal (Distribución Compuesta)

Question

Estoy tratando de calcular la densidad de una variable aleatoria distribuida normalmente, donde la media de la distribución es a su vez extraída de una distribución normal.

Me gustaría encontrar la mejor estimación de $\mu$ dado $c$, donde $\mu, c$ están definidos:

\begin{align*} c \sim N(\lambda, 1)\\ \lambda \sim N(\mu,1) \end{align*}

Dado que no tenemos ninguna prioridad en $\mu$, asumo que la máxima verosimilitud es el mejor enfoque para esta pregunta.

Wikipedia dice "Componer una distribución gaussiana con media distribuida de acuerdo con otra distribución gaussiana da como resultado una distribución gaussiana." pero no ofrece ninguna referencia para esto. No puedo resolver esto por mi cuenta y no tengo ni idea de dónde buscar apuntes de clase o libros sobre esto.

Answer 1

Verá que si $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ y $Y \sim N(X,\tau^2)$ entonces $Y \sim N(\mu, \sigma^2+\tau^2)$. Considere $Z=Y-X \sim N(0,\tau^2)$ independiente de $X$, y luego considere $Y=X+Z.

Entonces en su pregunta $c \sim N(\mu,2)$, y dado $c$ el estimador obvio para $\mu$ es $c$.

Answer 2

Probablemente haya formas más elegantes, pero si desea calcular explícitamente la distribución completa aquí puede hacerlo considerando la distribución de $c$ como una distribución compuesta y llevando a cabo la integración

$p(c)=\int p(c|\lambda)p(\lambda)\,\mathrm{d}\lambda$

con

$p(c|\lambda)\propto\mathrm{e}^{-(c-\lambda)^2/2}$

$p(\lambda) \propto\mathrm{e}^{-\lambda^2/2}$

lo que resulta en otra distribución Gaussiana

$p(c) \propto\mathrm{e}^{-(\lambda/\sqrt{2})^2/2}$

es decir, una Gaussiana con $\mu=0$ y $\sigma^2=2$.