El intervalo de confianza viene dado por $$\bar{x} - c_{\alpha,n} \bar{\sigma},\hat{x} + c_{\alpha,n} \hat{\sigma}$$ donde $c_{\alpha,n}$ es una constante que depende del tamaño de la muestra $n$ y el nivel de confianza $\alpha$ .
La elección de este coeficiente $c_{\alpha,n}$ se basará en el conocimiento de que la diferencia de $\bar{x}$ de la media real $\mu$ dividido por la estimación de la desviación típica seguirá una distribución t.
Así que esta cosa $\bar{x} - c_{\alpha,n} \hat{\sigma},\bar{x} + c_{\alpha,n} \hat{\sigma}$ es el intervalo de confianza. Su expresión de $t$ se refiere a la distribución de $\hat{x}$ relativa a $\mu$ .
La imagen de abajo da una interpretación geométrica a la construcción del intervalo de confianza (esa imagen es de este pregunta que es aproximadamente un intervalo de predicción para $x_{n+1}$ pero es similar en el razonamiento con un intervalo de confianza para $\mu$ )
En la imagen se ve la distribución muestral de la estimación de la media (eje x) y la estimación de la desviación típica de la media (eje y). Las líneas diagonales muestran una región en la que estará el 95% de las observaciones. Si para una observación dada (representada en rojo en la imagen) eligiera un intervalo de confianza basado en esas mismas líneas diagonales a la inversa, entonces para el 95% de las observaciones construirá un intervalo de confianza que contenga la media.
Esta construcción es independiente de la media real $\mu$ . Para una media diferente $\mu$ esta nube de observaciones se desplazará a la izquierda o a la derecha, pero el principio de la construcción del intervalo será el mismo. Todo es relativa a la media real. La distribución de la diferencia de $\bar{x}-\mu$ es independiente $\mu$ .
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