Un número $N$ es un $k$ -número denacci si y sólo si ...

Question

Para $k\ge 2\in\mathbb N$ se puede definir el $n$ -en $k$ -Número Nacci $f_k(n)\ (n=0,1,\cdots)$ como $$f_k(0)=f_k(1)=\cdots=f_{k}(k-2)=0,\ \ f_{k}(k-1)=1,$$$$ f_{k}(n+k)=f_{k}(n)+f_k(n+1)+ \cdots +f_{k}(n+k-2)+f_{k}(n+k-1)\N- (n=0,1,2, \cdots )$$

Ejemplos :

• $f_2(n)$ (Fibonacci) : $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,\cdots$
• $f_3(n)$ (Tribonacci) : $0,0,1,1,2,4,7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136,5768,\cdots$
• $f_4(n)$ (Tetranacci) : $0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536,\cdots$

Esta es mi pregunta. Digamos que " $N$ es $k$ -nacci" si un número $N$ es un $k$ -Número Nacci.

Pregunta : Para $k\ge 3$ ¿cómo podemos rellenar el siguiente espacio en blanco para que la proposición sea verdadera?

$$\text{A number $ N $ is $ k $-nacci if and only if $ (\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ) $.}$$

Cualquier respuesta es válida siempre que se pueda demostrar que la proposición es verdadera. ¿Alguien puede ayudar?

Para $k=2$ sabemos que la siguiente proposición es verdadera (ver aquí , aquí ):

$$\text{A number $ N $ is Fibonacci if and only if either $ 5N^2-4 $ or $ 5N^2+4 $ is a perfect square.}$$

Añadido : Un usuario Tito Piezas III preguntó una pregunta relacionada .

Answer 1

Nota: Las secuencias comienzan con $n=0$ .

I. $k = 2$

El Números de Lucas ,

$$L_n = x_1^n+x_2^n = 2,1,3,4,7,11,18,29,\dots$$

y el Números de Fibonacci ,

$$F_n = \frac{x_1^n}{y_1}+\frac{x_2^n}{y_2} = 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,\dots$$

donde $y_i =2x_i-1$ y el $x_i$ son las raíces de $x^2-x-1=0$ . Entonces,

$$x_1^n = \big(\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^n=\tfrac{1}{2}(L_n+F_n\sqrt{5})$$

$$x_2^n = \big(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\big)^n=\tfrac{1}{2}(L_n-F_n\sqrt{5})$$

Por lo tanto,

$$(x_1 x_2)^n = (-1)^n = \tfrac{1}{4}(L_n^2-5F_n^2)$$

II. $k = 3$

( Editado .) Dado tres secuencias con recurrencia $s_n = s_{n-1}+s_{n-2}+s_{n-3}$ pero diferentes valores iniciales como,

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Name} & \text{Formula} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & OEIS\\ \hline R_n & x_1^n+x_2^n+x_3^n &3 &1 &3 &7 &11 &21 &39 & 71 & A001644 \\ \hline S_n &\frac{x_1^n}{y_1}+\frac{x_2^n}{y_2}+\frac{x_3^n}{y_3}&3 &2 &5 &10 &17 &32 &59 &108 &(none)\\ \hline T_n &\frac{x_1^n}{z_1}+\frac{x_2^n}{z_2}+\frac{x_3^n}{z_3}&0 &1 &1 &2 &4 &7 &13 &24& A000073 \\ \hline \end{array}$$

$$y_i =\tfrac{1}{19}(x_i^2-7x_i+22)$$ $$z_i =-x_i^2+4x_i-1$$

y el $x_i$ son las raíces de $x^3-x^2-x-1=0$ con $T_n$ como el números de tribonacci y la raíz real $T = x_1 \approx 1.83929$ el constante de tribonacci . Definir,

$$a=\tfrac{1}{3}(19+3\sqrt{33})^{1/3},\quad b=\tfrac{1}{3}(19-3\sqrt{33})^{1/3}$$

entonces tenemos la bonita identidad por Pin-Yen Lin ,

$$3T^n = R_{n}+(a+b)S_{n-1}+3(a^2+b^2)T_{n-1}$$

y expresiones similares para los conjugados complejos $x_2^n$ y $x_3^n$ (tras corregir algunas erratas en el documento). Por lo tanto, es posible expresar,

$$(-x_1x_2x_3)^n = (1)^n = \text{in terms of}\; R_{n},\, S_{n-1},\, T_{n-1}$$

análoga a la $k=2$ caso, y deshacerse de las irracionalidades . Por alguna razón, Lin no lo trajo a este paso así que lo encontramos con la ayuda de Mathematica . Desde $R_n,\;S_n$ pueden expresarse como sumas de $T_m$ defina,

$$a,\;b,\;c = T_{n-1},\;T_{n-2},\;T_{n-3}$$

entonces obtenemos la diofantina ecuación cúbica tipo Pell para los números tribonacci,

$$a^3 - 2 a^2 b + 2 b^3 - a^2 c - 2 a b c + 2 b^2 c + a c^2 + 2 b c^2 + c^3=1$$

con un número infinito de soluciones enteras análogas a la ecuación de Pell para los números de Fibonacci,

$$p^2-5q^2 = \pm 4.$$

III. $k = 4$

Definir la secuencia A073817 ,

$$U_n = x_1^n+x_2^n+x_3^n+x_4^n = 4, 1, 3, 7, 15, 26, 51, 99, 191,\dots$$

y el números tetranacci ,

$$V_n = \frac{x_1^n}{y_1}+\frac{x_2^n}{y_2}+\frac{x_3^n}{y_3}+\frac{x_4^n}{y_4} =0,1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81,149\dots$$

donde $y_i =-x_i^3 + 6x_i - 1$ y el $x_i$ son las raíces de $x^4-x^3-x^2-x-1=0$ . Entonces,

$$\text{(insert relationship here)}$$

Answer 2

Un número $N$ es Tribonacci si y sólo si se puede escribir como:

$$N= \frac{\alpha^n}{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)}+\frac{\beta^n}{(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)}+\frac{\gamma^n}{(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)}$$

Dónde $n\geq 1$ y $\alpha, \beta,\gamma$ son las tres raíces del polinomio $$x^3-x^2-x-1$$

Fuente: T. Noe, T. Piezas y E. Weisstein, Tribonacci Number (véase aquí ).