Eliminación de ruido de imágenes con el muestreador de Gibbs

Question

Tengo una pregunta sobre la eliminación de ruido de las imágenes. La configuración: Considere la red $L:=\{1,...,m\}^2$ y un proceso $X=\{x_a\}_{a\in L}$ con $x_a = \pm 1$ . Sea la imagen observada $Y = \{y_a\}_{a\in L}$ y que $$ P(Y=y|X=x) = \prod_{a \in L} P(Y_a = y_a|X_a = x_a) = p^{\#\{a\in L: x_a \neq y_a\}}(1-p)^{\#\{a\in L:x_a = y_a\}} $$ Queremos utilizar el modelo de Ising como distribución a priori para una imagen en blanco y negro de la que sólo observamos una versión corrompida por el ruido. El modelo de Ising viene determinado por $$ P(X=x) = \frac{1}{C(\alpha \beta)} \exp\left\{ \alpha \sum_{a \in L} x_a + \beta \sum_{(a,b) \in \mathcal{N}} x_a x_b\right\} $$ donde $(a,b)\in\mathcal{N}$ es el conjunto de todos los vecinos a y b. Tengo un problema para calcular $P(X_a=1|X_b,b\neq a)$ . Sé que tengo que utilizar la regla de Bayes pero no puedo llegar al resultado $$ P(X_a = 1|X_b, b\neq a) = \frac{1}{1+\exp(-2(\alpha + \beta \sum_{b\in N(a)} x_b))} $$ El muestreador de Gibbs para la distribución posterior de $X$ dado $Y$ utiliza $$ \mathbb{P}(X_a = 1|X_b, b\neq a) = \frac{1}{1+\exp(-2(\alpha + \beta \sum_{b\in N(a)} x_b + \eta y_a))}, \quad \eta = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1-p}{p}\right) $$ Tampoco estoy seguro del resultado anterior. Gracias.

Answer 1

La clave es que se puede particionar $P(X = x)$ en una parte que depende de $x_a$ y otra parte que no depende de $x_a$

$$P(X=x) = \frac{1}{C(\alpha \beta)} \exp\left\{ \alpha \sum_{a \in L} x_a + \beta \sum_{(a,b) \in \mathcal{N}} x_a x_b\right\} = C(x_b, b\neq a) \cdot f(x_a, x_b, b\neq a)$$

Para calcular la densidad de $x_a$ dado $x_b$ puede descartar la parte que depende de $x_b$ que es una constante (ya que se condiciona a $x_b$ lo que significa que $x_b$ se mantiene fija)

$$P(X_a = x_a | X_b, b\neq a) = \frac{ C(x_b, b\neq a) \cdot f(x_a, x_b, b\neq a)}{\sum_{\forall x_a} C(x_b, b\neq a) \cdot f(x_a, x_b, b\neq a)} = \frac{ f(x_a, x_b, b\neq a)}{\sum_{\forall x_a} f(x_a, x_b, b\neq a)} $$

Esta parte $f(x_a)$ es relativamente sencillo y contiene el término $x_a$ y los términos de interacción con los cuatro vecinos.

$$f(x_a) = \exp \left(\alpha x_a + \beta x_a \sum_{b \in \mathcal{N}_a} x_b \right) = \exp\left(c x_a\right)$$

donde $b \in \mathcal{N}_a$ significa sumar sólo sobre todos $b$ que sean vecinos de $a$ y $c = \alpha + \beta\sum_{b \in \mathcal{N}_a} x_b$ .

Entonces

$$ P(X_a = x_a | X_b, b\neq a) = \frac{e^{c x_a}}{e^c + e^{-c}} $$