Le agradecería que revisara mi prueba para comprobar si es correcta. Gracias.
Problema: Demostrar que todo espacio regular de Lindelöf es normal
Prueba:
Sea X un espacio regular de Lindelöf. Sea $A$ , $B$ sean conjuntos cerrados en $X$ que son disjuntos. Obsérvese que $X$ es regular implica que los conjuntos de un punto son cerrados.
Afirmo el siguiente lema:
Si $A$ es un conjunto cerrado en un espacio de Lindelöf, entonces $A$ es Lindelöf.
Prueba de lo anterior:
Sea $A$ sea un conjunto cerrado en $X$ donde $X$ es Lindelöf.
Entonces $\mathcal{C}$ sea una cobertura abierta de $A$ por conjuntos abiertos en $X$ . Entonces $\mathcal{C} \cup \{X - A\}$ es una cubierta abierta de $X$ desde $X - A$ está abierto por el hecho de que $A$ está cerrado.
Desde $X$ es Lindelöf existe una subcubierta contable que puede incluir o no a $(X - A)$ . Si es así, basta con eliminar el conjunto $X - A$ y nos queda una cubierta abierta contable de $A$ como subconjunto contable de nuestro conjunto original $\mathcal{C}$ . Por lo tanto $A$ es Lindelöf.
Pasemos ahora a la prueba de la afirmación principal:
Desde $X$ es regular y $B$ está cerrado y $A$ es disjunta de $B$ existe entonces para cada $x \in A$ un conjunto abierto $U_x$ que contiene $x$ tal que $U$ es disjunta de $B$ . Por regularidad podemos encontrar un conjunto abierto $V_x$ tal que $\overline{V_x} \subseteq U_x$ . Podemos hacer esta misma operación para cualquier punto $x \in A$ . Haga lo mismo para $B$ por ejemplo $A$ .
Después de hacerlo, llegamos a dos coberturas abiertas para $A$ y $B$ . Desde $A$ y $B$ son conjuntos cerrados en un espacio de Lindelöf sabemos que $A$ y $B$ son ellos mismos Lindelöf. Entonces hay subcoberturas abiertas de esas coberturas de $A$ y $B$ , llama a estas tapas abiertas $\mathcal{W}=\{W_n: n \in \Bbb N\}$ y $\mathcal{Z}=\{Z_n: n \in \Bbb N\}$ para $A$ y $B$ respectivamente. Ahora podemos definir los conjuntos abiertos $W_n$ y $Z_n$ , $n \in \Bbb N$ como:
$$W'_n = W_n - \bigcup_{i=1}^n \overline{Z}_i$$
et
$$Z'_n = Z_n - \bigcup_{i=1}^n \overline{W}_i$$
Consideremos entonces los conjuntos abiertos $$W' = \bigcup_n W'_n,\, Z' = \bigcup_n Z'_n$$ Entonces $W'$ y $Z'$ son disjuntos, ya que supongamos que $y\in W'$ y $y\in Z'$ . Entonces tenemos para $i \ge j$ que $y \in W_i$ pero $y \notin Z_j$ para cualquier $j \le i$ . Pero según la definición de $Z'_i$ tenemos también que $y \in Z'_j$ para algunos $j \le i$ por lo que tenemos una contradicción. El caso en que $i \le j$ funciona de forma similar.
Por tanto, hemos obtenido dos conjuntos abiertos disjuntos $W'$ y $Z'$ que contienen los conjuntos cerrados $A$ y $B$ . Por lo tanto $X$ es normal.
