Esto es sólo un esbozo muy aproximado de una prueba -- necesitarás completar algunas de las hipótesis relevantes y hacer algo de álgebra conmutativa para hacerlo riguroso -- pero es posible dar una prueba rigurosa que sea totalmente poco ilustrativa en este contexto, así que en su lugar explicaré lo que está pasando aquí.
Geométricamente, $\operatorname{Spec}(k)$ es un único punto, que podemos llamar $x_0$ . Desde $X$ es un esquema sobre $k$ podemos pensar en $X$ como una familia de fibras, una correspondiente a cada punto de $x_0$ . Por supuesto, ya que sólo hay un punto de $x_0$ sólo hay una fibra, que es toda $X$ .
Geométricamente, $\operatorname{Spec}(R)$ es el análogo algebrogeométrico de una pequeña bola abierta $B_\varepsilon(x_0)$ en torno a $x_0$ del análisis. Es un objeto unidimensional que consiste en el punto $x_0$ -- un objeto de dimensión cero -- junto con una vecindad abierta del mismo. A diferencia de los vecindarios abiertos que probablemente conozcas del análisis, éste es muy pequeño; de hecho, ¡ni siquiera contiene otros puntos (cerrados)! Es realmente distinta de $x_0$ Sin embargo: $x_0 = \operatorname{Spec}(k)$ consiste en un único punto, mientras que $\operatorname{Spec}(R)$ consta de dos puntos, a saber $x_0$ y un punto genérico.
Cambio de base $X$ de una variedad más $k$ a un régimen $X_R$ en $R$ nos da una familia $X_R \to R$ . La fibra sobre $x_0$ -- lo que estás llamando $X_k$ -- es sólo su espacio original $X$ .
Diga $X$ es $n$ -dimensional. Entonces $X_R$ es una familia de $n$ -sobre el espacio unidimensional $\operatorname{Spec}(R)$ , por lo que es $(n+1)$ -dimensional. La fibra $X_k$ es una copia de $X$ , por lo que es $n$ -dimensional. $X_k$ es un conjunto cerrado de codimensión 1 de $X$ por lo que su anillo local $\mathcal{O}_{X_R, \beta}$ es un DVR. (Eso es lo que son los DVR: anillos locales de conjuntos cerrados de codimensión uno).
La función $\pi$ corta $x_0$ de $\operatorname{Spec}(R)$ de forma análoga a la ecuación $z = 0$ corta un único punto del plano complejo. En consecuencia, $\pi$ también recorta $X_k$ de $X_R$ al igual que $z = 0$ corta $\{0\} \times \mathbb{C}$ de $\mathbb{C} \times \mathbb{C}$ con coordenadas $(z, w)$ .
Es de suponer que el autor pretendía que todo lo anterior fuera obvio para el lector, y lo es si se está familiarizado con algunas de las convenciones utilizadas en geometría algebraica, pero por desgracia estas ideas básicas no están escritas en ningún sitio, que yo sepa; el aprendizaje de la geometría algebraica casi parece ser una especie de tradición oral que se transmite directamente de persona a persona sin que nunca se haya plasmado en un libro, al menos no de forma útil para alguien que no conozca el tema.
