Cuándo puede una forma diferencial descender a la colector cociente

Question

Sea $G$ sea un grupo finito que actúa libremente sobre una variedad $M$ entonces sabemos que $\pi: M \to M/G$ es un mapa de recubrimiento para variedades. Ahora bien, si tengo una diferencial $k$ -forma $\omega$ en $M$ tal que $g^{\ast}w = w$ para todos $g \in G$ . ¿Por qué puedo encontrar un formulario $\bar w $ en $M/G$ tal que $\pi^{\ast} \bar w = w$ ?

Para empezar. Puedo definir $\bar w$ localmente por $\bar w_y= (\pi_{x}^{-1})^{\ast}w_x$ donde $x$ está en la fibra de $\pi$ en $y$ . ¿Es éste el enfoque correcto y cómo demostrar que está bien definido? Supongo que tiene algo que ver con $\omega$ en $G-$ invariante.

Answer 1

No estoy seguro de lo que quiere decir con $\pi_x^{-1}$ pero $\pi$ no es invertible.

En cambio, para $y \in M/G$ y $Y_1, \dots, Y_k \in T_y(M/G)$ defina

$$\overline{w}_y(Y_1, \dots, Y_k) := w_x(X_1, \dots, X_k)$$ donde $x \in M$ y $X_i \in T_xM$ son tales que $\pi(x) = y$ y $(\pi_*)_xX_i = Y_i$ nota, como $\pi$ es un mapa de cobertura, $(\pi_*)_x : T_xM \to T_y(M/G)$ es un isomorfismo por lo que $X_1, \dots, X_k$ existen y son únicos.

La elección del punto $x$ no es única, por lo que debemos comprobar que la forma $\overline{w}$ está bien definida. Para ello, supongamos que $\pi(x') = y$ y $(\pi_*)_{x'}X'_i = Y_i$ . En $\pi(x) = \pi(x')$ hay $g \in G$ tal que $g(x) = x'$ ; aquí estoy identificando $G$ con su imagen bajo el mapa $G \to \operatorname{Diff}(M)$ dada por la acción del grupo. Como $\pi = \pi \circ g$ tenemos $(\pi_*)_x = (\pi_*)_{g(x)}\circ (g_*)_x = (\pi_*)_{x'}\circ (g_*)_x$ . Por lo tanto $Y_i = (\pi_*)_x(X_i) = (\pi_*)_{x'}((g_*)_xX_i)$ por lo que por la inyectividad de $(\pi_*)_{x'}$ vemos que $(g_*)_x(X_i) = X_i'$ . Así que vemos que

$$w_{x'}(X_1', \dots, X_k') = w_{g(x)}((g_*)_xX_1, \dots, (g_*)_xX_k) = (g^*w)_x(X_1, \dots, X_k) = w_x(X_1, \dots, X_k).$$

Por lo tanto, la forma $\overline{w}$ está bien definida.