La transformación de Doolittle no es única para matrices singulares

Question

Descomposición de la matriz singular $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 0\end{bmatrix}=LU$$ por Doolittle La descomposición parece ser única para este caso. Pero, ¿cómo demostrar que no es necesariamente única?

Answer 1

La fila de ceros de su $U$ permite jugar con la segunda columna de $L$ . Usted tiene $$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 1 & x\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$$ para cualquier elección de $x$ .

Si necesita $x=1$ no hay otra opción y la descomposición es única para esa matriz. Tal es el caso de cualquier matriz singular $2\times2$ matriz: si $$A=\begin{bmatrix}r&s\\ tr&ts\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\\ x&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a&b\\ 0&c\end{bmatrix},$$ se deduce inmediatamente que $a=r$ , $b=s$ , $x=t$ , $c=0$ .

Para $3\times3$ Aquí tiene un ejemplo en el que puede elegir libremente $z$ : $$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&z&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&1&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{bmatrix}.$$ Por otra parte, la descomposición es siempre única cuando $A$ es no singular y requerimos que una de las dos matrices triangulares tenga todos unos en la diagonal, como $$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&6&9\\5&8&11\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0&0\\ 4&1&0\\ 5&1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&2&3\\ 0&-2&-3\\ 0&0&-1\end{bmatrix}$$ es única.