Región crítica para la prueba unilateral de proporción binomial al nivel del 5%.

Question

Para la parte C) de esta pregunta, la clave de respuestas dice que debes analizar la cola superior, pero no es la alternativa $p < 0.3$ ? Así que no debería estar probando la cola inferior y obtener $x\le2$ para la región crítica? En cambio la clave de respuesta dice que es $x\ge 10$ .

Answer 1

Mostraré algunos cálculos desde R. Usted no dice si se espera utilizar la fórmula binomial PDF para calcular probabilidades. Si es así, te dejo esa parte. Usted tiene razón en que usted necesita para rechazar en la cola inferior.

$H_0: p = .3$ vs. $H_a: p < .3,$ donde $p$ es la probabilidad de un defecto. Utilizando $n = 20,$ la distribución nula es que el número $X$ de defectos observados ha $X \sim \mathsf{Binom}(n=20, p=.3).$

Se necesita un valor crítico para una prueba al nivel del 5% (o quizá un poco más bajo). $P(X \le 2 \,|\, p=0.3) = 0.03548.$ Por tanto, el valor crítico es $c = 2.$ [En R pbinom es una CDF binomial].

pbinom(3, 20, .3)
[1] 0.1070868
pbinom(2, 20, .3)
[1] 0.03548313

Si rechaza por $X \le c = 2,$ tendrá una prueba en el nivel $\alpha = 0.355.$

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Extra: Cálculo de potencia.

Si la nueva versión tiene $p = 0.1,$ ¿cuál es la potencia (probabilidad de rechazo)? Respuesta: Alrededor del 68%.

 pbinom(2, 20, .1)
 [1] 0.6769268

A continuación se muestra el resultado del procedimiento de Minitab para la potencia y el tamaño de la muestra.

Power and Sample Size 

Test for One Proportion

Testing p = 0.3 (versus < 0.3)
α = 0.05

              Sample
Comparison p    Size     Power
        0.20      20  0.221724
        0.20      30  0.303238

        0.10      20  0.680418  <- Compare R above
        0.10      30  0.872633

        0.05      20  0.952676
        0.05      30  0.997631