<b>Intervalo de confianza de la varianza</b> entre un conjunto de grupos,

Question

Un psiquiatra está interesado en encontrar un intervalo de confianza del 90% para los tics por hora exhibidos por niños con síndrome de Tourette. Los datos a continuación muestran los tics en una hora observada para 13 niños seleccionados al azar con síndrome de Tourette, con cada valor de tics-por-hora separado por una coma.

• Niño 1: 8 tics por hora
• Niño 2: 9 tics por hora
• Niño 3: 0 tics por hora
• Niño 4: 5 tics por hora
• Niño 5: 9 tics por hora
• Niño 6: 1 tics por hora
• Niño 7: 1 tics por hora
• Niño 8: 2 tics por hora
• Niño 9: 7 tics por hora
• Niño 10: 3 tics por hora
• Niño 11: 9 tics por hora
• Niño 12: 3 tics por hora
• Niño 13: 4 tics por hora

Partes que ya he resuelto:

1. El intervalo de confianza se calculó con la distribución t.
2. Con un 90% de confianza, el número promedio de tics por hora que los niños con síndrome de Tourette exhiben está entre 3.035733655917 y 6.348881728698 días.

La parte en la que necesito ayuda: Si se observan muchos grupos de 13 niños seleccionados al azar con síndrome de Tourette, entonces se produciría un intervalo de confianza diferente en cada grupo. Alrededor del x por ciento de estos intervalos de confianza contendrán el verdadero número promedio de tics por hora de la población y alrededor del y por ciento no contendrán el verdadero número promedio de tics por hora de la población. Con esta información, ayúdame a encontrar los porcentajes.

Answer 1

Si usted cree que un intervalo de confianza (CI) del 90% se obtiene por un método razonable, de modo que realmente tiene una 'probabilidad de cobertura' del 90% de la media de la población $\mu,$ entonces se puede decir que el 90% de las muestras de tamaño $n=13$ de esta población producirán CIs de este tipo que incluyen $\mu.$

Mi pregunta en su caso es si un intervalo de confianza t es el tipo apropiado de CI.

Si se considera que las 13 mediciones siguen una distribución normal, entonces un intervalo de confianza t del 90% para el promedio de tics por hora es $(3.04, 6.34).$ [Es costumbre redondear los límites de un CI a una o dos cifras más significativas que los datos; no veo sentido en mantener una docena o más de decimales. Además, 'días' debe ser un error tipográfico.]

t.test(x, conf.lev=.9)$conf.int
[1] 3.035734 6.348882
attr(,"conf.level")
[1] 0.9

Sin embargo, los datos no parecen estar distribuidos de forma normal, a pesar de que son aproximadamente simétricos. Un gráfico de probabilidad normal de datos normales debería ser aproximadamente lineal, pero tal gráfico para sus 13 observaciones parece claramente curvado:

x = c(8,9,0,5,9,1,1,2,7,3,9,3,4)
qqnorm(x);  qqline(x, col="green", lwd=2)

Por lo tanto, intenté un intervalo de confianza no paramétrico del 90% basado en una prueba de Wilcoxon de una muestra. Debido a empates en los datos, el CI $(2.5, 6.5)$ es solo aproximado.

También, un CI de cuantil de bootstrap no paramétrico simple del 90% es $(3.23, 6.15)$ como se muestra a continuación. El tamaño de la muestra $n = 13$ puede ser demasiado pequeño para un CI del "95%" para cubrir la verdadera población el 90% del tiempo.

set.seed(411)
a.re = replicate(5000, mean(sample(x,13,rep=T)))
quantile(a.re, c(.05,.95))
      5%      95% 
3.230769 6.153846

Answer 2

Dado que se trata de un intervalo de confianza del 90%, a largo plazo, si se realiza una gran cantidad de estos intervalos, aproximadamente el 90% de ellos abarcará la media correcta y alrededor del 10% fallará.