Suprema e Infima de subconjuntos de $\mathbb R$ .

Question

Pregunta de análisis real (Suprema, Infima y $\mathbb R$ )

Pregunta:

Supongamos que $U$ es un subconjunto no vacío de $\mathbb R$ acotado por encima, con supremum $s$ . Si $a$ es cualquier número que cumpla $a < s$ Explique por qué hay $u\in U$ con $a < u$ .

Por favor, ¿alguien puede ayudar con esta pregunta?

Answer 1

Pista: Si el conjunto $U$ no tenía ningún elemento $>a$ entonces $a$ sería un límite superior para $U$ .

Answer 2

Si no, entonces $u \leq a$ para todos $u\in U$ pero esto demuestra que $a$ es el sup, contridicción.