Si tenemos $|\nabla^m \mathring A| \le C(m,n) |\nabla^m A|$ ?

Question

Consideremos una hipersuperficie $M^n\subset \mathbb R^{n+1}$ , $A$ es la segunda forma fundamental, $\mathring A= A-\frac{H}{n}g$ donde $H$ es la curvatura media y $g$ es la métrica inducida. En Aumento de la curvatura media en el primer tiempo singular del flujo de curvatura media parece que utilizaron $$ |\nabla^2 \mathring A| \le C(n)|\nabla^2 A|. $$ De hecho, no sé cómo probarlo. Además, si tenemos $$ |\nabla^m \mathring A| \le C(m,n) |\nabla^m A| ~~? $$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \nabla^m \mathring A = \nabla^m A - \frac{1}{n} \nabla^m H\otimes g$$ desde $\nabla g = 0$ . Así

$$\begin{split} |\nabla^m \mathring A| &\le |\nabla^m A| + \frac{1}{n} |\nabla^m H \otimes g|\\ &= |\nabla^m A| + \frac{1}{n} |\nabla ^m H| \cdot |g|\\ &=|\nabla^m A|+\frac{1}{\sqrt n} |\nabla ^m H|. \end{split}$$

Nota $H = g^{ij} A_{ij} = \mathrm{tr}(g^{-1} \otimes A)$ . Así

$$\nabla^m H= \mathrm{tr} (g^{-1} \otimes \nabla^m A).$$

Si calculamos en un punto donde $g_{ij} = \delta_{ij}$ , entonces por Cauchy Schwarz,

$$\begin{split} |\nabla^m H|^2 &= \sum_{j_1, \cdots, j_m} \left(\sum_i \nabla^m_{j_1\cdots j_m} A_{ii}\right)^2 \\ &\le n\sum_{j_1, \cdots, j_m} \left(\sum_i (\nabla^m_{j_1\cdots j_m} A_{ii})^2\right)\\ &\le n\sum_{i,j, j_1, \cdots, j_m} \left( \nabla^m_{j_1\cdots j_m} A_{ij}\right)^2 \\ &= n|\nabla^m A|^2. \end{split}$$

Así que tenemos

$$|\nabla^m \mathring A| \le 2|\nabla ^m A|$$

y la constante $C(n,m)=2$ no depende de $m,n$ .