Dudas sobre la demostración de la fórmula integral de Cauchy

Question

Estaba intentando comprender la demostración de la fórmula de la integral de Cauchy del libro "Análisis complejo" de Stein y Shakarchi. Entiendo la mayoría de los pasos de esa prueba, pero tengo una duda:

Entiendo que debido al Teorema Integral de Cauchy, la integral del dominio limitado por la curva $C$ es 0, y esto independientemente del valor alrededor del $|\zeta|=\epsilon$ parte. Sin embargo en el libro afirman que en el límite $\delta \to0$ la integral de $f(\zeta)/{(\zeta -z)}$ es igual a la que rodea la parte del círculo exterior de $C$ más la integral alrededor del círculo $|\zeta|=\epsilon$ y no entiendo esta parte .

Cualquier ayuda será apreciada

Answer 1

Se trata simplemente de saber cuál es el valor límite de $$\oint_{\Gamma_{\epsilon,\delta}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta,\tag{1}\label{1}$$ calculado manteniendo $\epsilon$ constante y dejando $\delta\to 0$ . El valor de la integral curvilínea en los dos segmentos paralelos de $\Gamma_{\epsilon,\delta}$ tiene la siguiente forma $$\int_{z_1}^{z_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta + \int_{z_2-\delta \xi_2}^{z_1-\delta \xi_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=\int_{z_1}^{z_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta-\int_{z_1-\delta \xi_1}^{z_2-\delta \xi_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta\tag{2}\label{2}$$ donde $z_1,z_1-\delta\xi_1\in C_\epsilon$ y $z_2,z_2-\delta\xi_2\in C$ : cuando $\delta\to 0$ $\eqref{2}$ va a $0$ Por lo tanto $$\lim_{\delta\to 0}\oint_{\Gamma_{\epsilon,\delta}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=\oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta- \oint_{C_\epsilon}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta\tag{3}\label{3}$$ Editar : para explicar mejor el concepto, he añadido la siguiente imagen:

Para $\delta\to 0$ las dos partes de segmentos paralelos del dominio del ojo de la cerradura $\Gamma_{\epsilon,\delta}$ teniendo como extremos respectivamente $z_1,z_2$ y $z_1-\delta\xi_1,z_2-\delta\xi_2$ tienden al mismo segmento: dado que estas dos trayectorias se recorren en sentido opuesto durante la evaluación de la integral curvilínea $\eqref{1}$ (como queda explícito en la ecuación $\eqref{2}$), su contribución conjunta tiende a desaparecer y se cumple la ecuación $\eqref{3}$.

Answer 2

$$\begin{align} 0&=\lim_{\delta,\epsilon \to 0}\int_{\Gamma_{\delta,\epsilon}}F(\zeta)\,d\zeta\\ &= \int_{C}F(\zeta)\,d\zeta +\lim_{\epsilon \to 0}\int_{C_\epsilon}F(\zeta)\,d\zeta\\ &= \int_{C}F(\zeta)\,d\zeta +\lim_{\epsilon \to 0}\int_{C_\epsilon}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta - z}\,d\zeta +\lim_{\epsilon \to 0}\int_{C_\epsilon}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta\\ &= \int_{C}F(\zeta)\,d\zeta + 0 -f(z)2\pi i\\ \end{align}$$ Así pues, concluimos que $$2\pi i f(z) = \int_{C}F(\zeta)\,d\zeta= \int_{C}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta$$ Que es la Fórmula Integral de Cauchy.