Definición de Extensión Kan Operádica Izquierda para $\infty$ -operads

Question

En el libro de Lurie Álgebra Superior, hace la siguiente definición:

Definición 3.1.2.2: Sea $M^\otimes\to N(Fin_\ast)\times\Delta^1$ sea una correspondencia de un $\infty$ -operad $A^\otimes$ a otro $\infty$ -operad $B^\otimes$ , dejemos que $q:C^\otimes\to O^\otimes$ sea una fibración de $\infty$ -operads y let $\overline{F}:M^\otimes\to C^\otimes$ sea un mapa de $\infty$ -operadas. Decimos que $\overline{F}$ es una operádica $q$ -extensión Kan izquierdo de $F\vert A^\otimes$ si se cumple la siguiente condición para cada $b\in B^\otimes$ :

( $\ast$ ) Dejemos $K=(M_{act}^\otimes)_{/b}\times_{M^\otimes} A^\otimes.$ Entonces el mapa compuesto $$K^\vartriangleright\to (M^\otimes)_{/b}^\vartriangleright\to M^\otimes\overset{\overline{F}}\to C^\otimes$$ es una operádica $q$ -diagrama límite.

Mi pregunta es la siguiente:

Qué es el mapa $(M^\otimes)_{/b}^\vartriangleright\to M^\otimes$ ? ¿Tiene el punto cónico de la izquierda un representante dentro de $M^\otimes$ ? ¿La existencia de tal mapa requiere implícitamente que tal punto esté en $M^\otimes$ ¿Ya?

Answer 1

El comentario de Aaron sobre la sala de chat es correcto: cuando se restringe a $(M^\otimes)_{/b}$ es la proyección canónica, y el punto del cono se envía a $b$ .

Obsérvese que para cada objeto de la porción $f : x \to b$ existe un morfismo único desde $f$ al punto cónico en $(M^\otimes)_{/b}^\vartriangleright$ ; este morfismo único se envía a $f$ .

Describir el functor de forma totalmente explícita como un mapa de conjuntos simpliciales:

Si un $n$ -simplex $\sigma$ en $(M^\otimes)_{/b}^\vartriangleright$ utiliza el punto de cono, el punto de cono viene al final, por lo que si los vértices de $\sigma$ son $v_0, \ldots, v_n$ hay algo de $k \le n$ de forma que $v_i$ con $i>k$ son el punto del cono y el $v_i$ con $i \le k$ no lo son. Entonces la cara en los vértices $\{0, \ldots, k\}$ es un $k$ -simplex en $(M^\otimes)_{/b}$ y, por tanto, realmente un $(k+1)$ -simplex $\tau$ en $M^\otimes$ con el último vértice $b$ . El mapa requerido se define en dos casos:

• si $k=n$ envía $\sigma$ à $d_{n+1}\tau$ la cara de $\tau$ en $\{0, \ldots, n\}$ y
• si $k<n$ envía $\sigma$ à $s_{n-1} \cdots s_{k+2} s_{k+1} \tau$ el simplex degenerado en $\tau$ obtenida aplicando la última degeneración posible $n-k-1$ veces.

Además, la definición de este mapa funciona para $M^\otimes$ una cuasicategoría arbitraria y no requiere que sea una correspondencia entre operadas.

Answer 2

Una recomendación: ¡haz dibujos de conos! Tenga en cuenta que, por definición

$$ (X_{/b})_n = Hom_b((\Delta^n)^{\triangleright},X)$$

Dónde $Hom_b$ significa mapas que envían el punto del cono a b. Por el Lemma de Yoneda podemos reescribirlo como

$$ Hom(\Delta^n, X_{/b}) = Hom_b((\Delta^n)^{\triangleright},X)$$

Ahora bien, esta ecuación es cocontinua en $\Delta^n$ por lo que se extiende a cada sSet K, dando lugar a una adjunción:

$$ Hom(K, X_{/b}) = Hom_b(K^{\triangleright},X)$$

En particular, para $K=X_{/b}$ la identidad de la izquierda da un conit $(X_{/b})^{\triangleright} \to X$ . Nótese que se pueden rastrear todos los pasajes para obtener una descripción explícita: en la adjunción, se sabe que todo n-simplejo $\Delta^n \to K \to X_{/b}$ corresponde a un simplex n+1 $(\Delta^n)^{\triangleright}\to X$ por la segunda ecuación.