¿Es el cierre integral el anillo de los enteros?

Question

Sea $K=\mathbb{F}_q(X)$ y sea $L/K$ finito. Sea $\mathscr{O}_L$ el anillo de enteros de $L$. Para cualquier $a\in K^* \setminus \mathbb{F}_q^*$, sea $\mathscr{O}_a$ el cierre integral de $\mathbb{F}_q[a]$ en $L$. ¿Cuál es la relación entre $\mathscr{O}_L$ y $\mathscr{O}_a$? Si $a\in\mathscr{O}_L$, entonces $\mathscr{O}_a\subset\mathscr{O}_L$, ¿pero son iguales? ¿Qué pasa si $a\not\in\mathscr{O}_L$?

Cualquier solución o referencia sería muy apreciada.

Answer 1

Esto simplemente quiere decir que estás mirando el anillo de enteros para un campo intermedio, es decir, $K\subseteq\operatorname{Frac}(\mathcal{O}_a)\subseteq L$. Al igual que en el caso del anillo de números, puedes tener inclusiones adecuadas fácilmente en general. Toma $L= K(\sqrt[4]{x})$ que tiene grado $4$, y considera $a=\sqrt{x}$ claramente contenido en $K(\sqrt{x})$. Si $a$ es integral sobre $K$, tiene que estar en $\mathcal{O}_L$ ya que este último es cerrado integralmente, pero no se puede decir mucho más, ya que por ejemplo $a=x$ puede lograr una inclusión adecuada. Por el contrario, si $a$ no es integral sobre $K$, entonces $\mathcal{O}_a$ no puede estar contenido en $\mathcal{O}_L$ porque, por ejemplo, $a\not\in\mathcal{O}_L$, y además $\mathcal{O}_L$ no está necesariamente contenido en $\mathcal{O}_a$ como se puede ver cuando $a=x^{-1}$ y $L=K(\sqrt{x})$ de modo que $\sqrt{x}\in\mathcal{O}_L$ claramente no está en $\Bbb F_q[x^{-1}]$.