Demostrar que $\log_34\cdot\log_56\cdot\log_78\cdot\ldots\cdot\log_{79}80 > 2$

Question

El título básicamente lo dice todo, tenemos que demostrar la desigualdad sin calcular el valor del lado izquierdo: $$\prod_{n = 2}^{40}\log_{2n - 1}(2n) > 2$$ también conocido como $$\log_34\cdot\log_56\cdot\log_78\cdot\ldots\cdot\log_{79}80 > 2$$

Todo lo que he intentado me devuelve al punto de partida... ¡Es obvio que me estoy perdiendo la clave aquí y por el amor de Dios ya no puedo pensar en nada nuevo! :D

Toda sugerencia es bienvenida. Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \log_34>\log_45\\ \log_56>\log_67\\ \vdots $$ Así que $$ (\log_34\cdot\log_56\cdots\log_{79}80)^2>\log_34\cdot\log_45\cdots\log_{79}80\cdot\log_{80}81 $$ El lado derecho es igual a $4$ . Esto es más fácil de ver si usted levanta $3$ a la potencia del lado derecho y usa los logaritmos uno a uno hasta que termines con $81=3^4$ .