Pruebas $\sqrt{\tan(\alpha)\tan(\beta)+5}+\sqrt{\tan(\alpha)\tan(\gamma)+5}+\sqrt{\tan(\beta)\tan(\gamma)+5}\le4\sqrt{3}$

Question

Demostrar que si $\alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}$ entonces tenemos la siguiente desigualdad: $$\sqrt{\tan(\alpha)\tan(\beta)+5}+\sqrt{\tan(\alpha)\tan(\gamma)+5}+\sqrt{\tan(\beta)\tan(\gamma)+5}\le4\sqrt{3}$$

Answer 1

Asumiré que las raíces existen (Como en el comentario de Calvin Lin). Desarrollando mi comentario, si $\alpha+\beta+\gamma=90^\circ$ entonces

$$\alpha+\beta=90^\circ-\gamma$$ $$\implies\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\tan(90^\circ-\gamma)=\cot\gamma$$ $$\implies\tan\alpha\tan\gamma+\tan\beta\tan\gamma+\tan\alpha\tan\beta=1$$ $$\iff\tan\alpha\tan\gamma+5+\tan\beta\tan\gamma+5+\tan\alpha\tan\beta+5=16$$ Reformulemos nuestro problema: $$\text{Show }a+b+c=16\implies\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le4\sqrt{3}$$ ¿Puedes seguir a partir de ahí?

Answer 2

Si toma $\alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3}$ obtendrá $3\sqrt{8}\leq 4\sqrt{3}$ eso no es cierto...