Prueba: de la Serie converge $\implies $ el límite de la secuencia es cero

Question

He estado usando la frase:

Si una serie converge, entonces el límite de la secuencia es cero

como criterio para demostrar que una serie diverge (al $\lim \neq 0$) y puedo entender las razones detrás de él, pero no puedo encontrar una prueba formal.

Me pueden ayudar?

Answer 1

Si sabemos que la secuencia converge y sólo desea mostrar converge a cero, luego de una prueba por contradicción da un poco más de intuición aquí (aunque el directo de las pruebas son sencillas y hermosas). Suponga $a_n\to a$$a>0$, entonces para todos los $n>N$ para algunos lo suficientemente grande como $N$ tenemos $a_n > a/2$ (tome $\varepsilon = a/2$ en la definición del límite). Ahora la suma se bifurca: $\sum_{n>N}a_n > \sum_{n>N}a/2 = \infty$. Un argumento similar funciona al $a<0$.

Answer 2

Sí.

$$\lim_{n \to \infty} \left ( \sum_{k = 1}^{n + 1} a_k - \sum_{k = 1}^{n} a_k \right ) = \lim_{n \to \infty} a_{n + 1} $$ Y ambas sumas se convergen en el mismo número, por lo que el límite es cero. Este es por lejos el más fácil la prueba que yo conozco.

Este es el criterio de Cauchy en el disfraz por el camino, así que usted podría utilizar.