¿Cuántos conjuntos máximos coherentes hay en un $\mathscr{FOL}$

Question

Sea $\mathfrak L$ ser un $\mathscr{FOL}$ con integridad y solidez. Mi pregunta es ¿cuántos conjuntos máximos consistentes tiene?

Sé que todo conjunto maximal consistente puede tratarse como un ultrafiltro en el modelo de Henkin. Sin embargo, la cantidad de ultrafiltros en un poset, incluso en un álgebra booleana, no puede ser determinada por la cardinalidad de la misma. Cardinalidad del conjunto de ultrafiltros en un álgebra booleana infinita

Así que una pregunta extra es si existe una aritmética para calcular la cantidad de ultrafiltros en un poset arbitrario.

Answer 1

Consideremos el siguiente árbol binario infinito. Los nodos del árbol son teorías (conjuntos de fórmulas) en el lenguaje de la aritmética de primer orden. La raíz del árbol es el conjunto de axiomas de Peano ( $PA$ ). Los hijos de cada nodo $T$ son $T \cup \{GL_T\}$ y $T \cup \{\lnot GL_T\}$ donde $GL_T$ es la sentencia de Goedel de la teoría $T$ . Por el Teorema de Imcompletitud de Goedel cada nodo es un conjunto consistente de fórmulas.

Cada rama de este árbol determina una teoría - la unión de todos los nodos, que es consistente por el teorema de la compacidad. Así, la teoría correspondiente a cada rama puede extenderse a un conjunto maximal consistente. Además, es fácil ver que estos conjuntos máximos consistentes son todos diferentes. Ahora bien, como hay $2^{\aleph_0}$ -muchas ramas en este árbol, hay al menos $2^{\aleph_0}$ conjuntos maximales consistentes en el lenguaje de la aritmética.

Es evidente que hay como máximo $2^{\aleph_0}$ conjuntos máximos coherentes, por lo que $2^{\aleph_0}$ es la cardinalidad del conjunto de conjuntos máximos consistentes en el lenguaje aritmético de primer orden.