¿Es siempre cierto que $(A_1\cap A_2)\times(B_1\cap B_2)=(A_1\times B_1)\cap (A_2\times B_2)$ ?

Question

¿Es siempre cierto que $$(A_1\cap A_2)\times(B_1\cap B_2)=(A_1\times B_1)\cap (A_2\times B_2)\qquad ?$$ Creo que sí, pero quería asegurarme de que voy por el buen camino. Probé la contención para ambos lados eligiendo elementos arbitrarios $(a,b)$ para estar en el LHS, y he demostrado que están en el RHS, y viceversa. ¿es esto correcto para resolver un problema como este?

Answer 1

La pregunta ya fue respondida en los comentarios, así que pensé en hacer una respuesta wiki comunitaria. Sí, para demostrar que dos conjuntos $x$ y $y$ son iguales basta con demostrar que $x \subseteq y$ y $y \subseteq x$ . Esto se deduce del axioma de extensionalidad: los conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.