Cómo ver si una función compuesta es One-To-One y Onto

Question

Así que tenemos $f$ que está sobre, y $g$ que es onto y one-to-one. Es $f \circ g$ sobre y uno a uno?

Mi intento de resolver este problema consistió en plantear las siguientes hipótesis y llegar a una conclusión. Mi método de prueba es el siguiente:

Sabemos que $f$ es onto, por lo que cada elemento de su dominio se asigna a uno o más codominios, lo que lo convierte en onto.

$g$ es unívoco y onto, por lo que cada elemento de $g$ se asigna a un único elemento de su codominio.

Sabemos que $g$ va al dominio de $f$ . $f$ pueden corresponder al mismo elemento del codominio; sabiendo que $f$ esto puedo concluir que $f \circ g$ no es uno a uno y sobre por el hecho de que $f$ está dentro.

Ej: Set $A$ contiene $a$ y $b$ set $B$ contiene $c$ y $d$ set $C$ contiene $e$ . $g$ es $A$ codominio es $B$ y $f$ es $B$ y el codominio es $C$ .

$$\text{}(f \circ g) = e \\ g(a) = c \\ f(g(a)) = e \\ \text{but} \\ g(b) =d \\ f(g(b)) = e \\ \therefore \text{$ (f \circ g) $ is not one-to-one a because the domain maps to multiple things in the codomain.}$$

Mis preguntas son: ¿es esto correcto y es una forma válida de hacer esta prueba?

Answer 1

No hace falta demostrarlo, basta con un contraejemplo, y usted lo ha hecho, ¡buen trabajo! Otro contraejemplo con un espíritu similar sería;

Toma $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{\geq 0}$ , $x\mapsto x^{2}$ y $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto x$ .

Entonces $g$ mapea uno a uno y sobre $\mathbb{R}$ y $f$ se asigna a $\mathbb{R^{\geq 0}}$ .

Sin embargo, $(f\circ g)=f:\mathbb{R}\to\mathbb{R^{\geq 0}}$ , $x\mapsto x^{2}$ no es uno a uno.