¿Por qué el teorema de Noether no está garantizado por el cálculo?

Question

La acción de un sistema, digamos un campo escalar es

$$ S = \int_{\mathcal{M}} {\rm d}^4 x ~ \mathcal{L}(\phi(x),\partial \phi(x)). $$

Ahora, si uno hace una transformación variable $x \to x'$ entonces

$$ S' = \int_{\mathcal{M}'} {\rm d}^4 x' ~ \mathcal{L}(\phi'(x'),\partial' \phi'(x')). $$

Entonces, ¿por qué no $S'$ garantizado igual a $S$ ¿por el hecho de que las integraciones permanecen inalteradas debido a los cambios en las variables por las reglas del cálculo multivariable? Aunque la densidad lagrangiana está rodeada de misterio por ser una función compuesta de $\phi$ y $\partial\phi$ etc., en última instancia es sólo una función de $x\in \mathcal{M}$ dado el historial para la configuración del campo. Por eso no entiendo por qué la invariancia de la integral bajo cambio de variable no se aplica aquí y tenemos que confiar en los principios de simetría y la satisfacción de la ecuación de movimiento junto con ellos.

EDITAR: Un punto interesante ha sido aclarado por @Gold en los comentarios que el alcance del teorema de Noether es mucho más amplio que sólo la simetría correspondiente a las transformaciones de coordenadas, por ejemplo, el teorema también es aplicable para las simetrías internas que son diferentes de las simetrías en el espaciotiempo físico. Sin embargo, mi pregunta, que ahora sólo se limita al caso de cambios en el campo debidos a transformaciones de coordenadas, sigue en pie. Consideremos por ejemplo el tensor energía-momento $T^{\mu}_{~~\nu}$ y el tensor de momento angular $\left(\mathcal{J}^\mu\right)^{\rho\sigma}$ que, según se afirma, surgen de la simetría bajo traslaciones y transformaciones de Lorentz, respectivamente (para sus definiciones, véase la nota del profesor David Tong sobre QFT). Mi pregunta es ¿por qué necesitamos estas simetrías si, bajo un cambio de coordenadas, la acción permanece invariante sólo por las reglas del cálculo? Espero que estos ejemplos aclaren mi pregunta.

EDITAR 2: @Prahar plantea un punto muy y creo que probablemente puede ser en última instancia lo que responde a esta pregunta. Sin embargo, todavía se puede seguir discutiendo. Por ejemplo, en el enlace a la respuesta de Prahar que se proporciona en los comentarios más abajo, encuentro la siguiente afirmación: "Esto es crucial y a menudo es algo con lo que mucha gente confunde. En las teorías de campo, todas las transformaciones de simetría actúan sólo en los campos, no en las coordenadas. A menudo se habla de simetrías espaciotemporales que se describen como actuando sobre las coordenadas de alguna manera $x \to x'$ . Sin embargo, es crucial recordar que eso es simplemente un herramienta para empaquetar información sobre cómo se transforman los campos. Por ejemplo, es posible que desee hablar de las traducciones. Esto se describe mediante la redefinición del campo $\phi(x) \to \phi'(x)$ donde $\phi'(x+a) = \phi(x)$ . Obsérvese que la ecuación $\phi'(x+a) = \phi(x)$ debe entenderse como una forma de deducir lo que es $\phi'(x)$ en términos de $\phi(x)$ y no como traducciones que actúan de algún modo sobre las coordenadas".

Mi objeción se refiere a la última línea. Las redefiniciones de campo $\phi(x) \to \phi'(x)$ no es una afirmación independiente de lo ocurrido con el sistema de coordenadas subyacente. Si fuera la transformación de coordenadas subyacente $x\to x'=x+a$ no podía utilizarse como "herramienta" (así llamada) para "deducir lo que es $\phi'(x)$ en términos de $\phi(x)$ ." La deducción de cómo cambia el campo $\delta\phi(x)=\phi'(x)-\phi(x)$ es diferente si a las coordenadas subyacentes les ocurren cosas diferentes (digamos si en lugar de $x\to x'=x+a$ tuvimos $x\to x'=\Lambda x$ ). Por lo tanto, lo que ocurre con las coordenadas subyacentes está relacionado con la redefinición del campo y viceversa, y no son independientes entre sí. Si esto no es cierto, entonces, este punto requiere una mayor elaboración frente a las afirmaciones de hecho de que son independientes. Una transformación de Lorentz del campo o una traslación del campo se asocia también con alguna transformación correspondiente en las coordenadas.

Answer 1

Como el problema aquí parecen ser las coordenadas, dejemos de usar coordenadas, y por simplicidad consideremos la teoría de un solo campo escalar en el espacio(tiempo) $M$ :

Nuestro campo es una función $\phi : M\to\mathbb{R}$ y la acción es una función $S : [M,\mathbb{R}] \to \mathbb{R}$ donde $[M,\mathbb{R}]$ es la notación para algún espacio de funciones suficientemente agradables. El teorema de Noether es una afirmación sobre transformaciones continuas en el espacio de campo donde a cada $\epsilon\in[-1,1]$ tenemos un flujo que se asocia a un par $(\phi,\epsilon)$ de un campo y parámetro una deformación $\phi_\epsilon$ y $\phi_0 = \phi$ . Esta es la "versión de teoría de campo" de la flujo de un campo vectorial en el espacio de fases.

Tal transformación es una simetría (off-shell) de la acción si $S[\phi_\epsilon] = S[\phi]$ para todos $\phi$ y todos $\epsilon$ . Dado que esta afirmación no utiliza coordenadas en ninguna parte, está claro que se trata de no alguna afirmación trivial sobre cómo se comportan las coordenadas dentro de las integrales (ni siquiera escribimos $S$ en forma de integral).

¿Pero qué sentido tiene ahora hablar de cosas como las traducciones en este contexto? Una transformación continua de coordenadas $x\mapsto x_\epsilon$ es generado como el flujo de un campo vectorial $\delta x^\mu = \epsilon X^\mu$ . Toda función en $M$ es "arrastrado" a lo largo de este flujo por el Derivada de Lie $\mathcal{L}_X$ por lo que induce una transformación continua en el espacio de funciones $[M,\mathbb{R}]$ $$ (\phi,\epsilon) \mapsto \phi + \epsilon \mathcal{L}_X\phi,$$ y es la invariancia de la acción bajo este transformación a la que nos referimos cuando hablamos, por ejemplo, de invariancia de traslación.

"Transformación continua de coordenadas" en la frase anterior sólo pretende establecer aquí un contacto con el lenguaje habitual en los textos de física. Podemos volver a expresarlo en un lenguaje totalmente libre de coordenadas:

Una familia continua $f_\epsilon$ de difeomorfismos de $M$ es un mapa $[-1,1]\to [M,M], \epsilon\mapsto f_\epsilon$ de forma que $f_\epsilon$ son difemorfismos y $f_0 = \mathrm{id}_M$ . Esto induce una transformación continua correspondiente en el espacio de campo a través de la transformación pullback $\phi_\epsilon = f^\ast_\epsilon(\phi) = \phi\circ f_\epsilon$ y es este transformación sobre el espacio de campo a la que nos referimos cuando hablamos de la invariancia de la acción bajo la familia de difeomorfismos $f_\epsilon$ .

Ya que estamos siendo pedantemente rigurosos: Nótese que no todas las familias continuas de difeomorfismos en el sentido anterior se generan como flujo de campos vectoriales, sino que simplemente son productos finitos de flujos de campos vectoriales, cf. esta pregunta MO . En $f_\epsilon$ se genera como el flujo de un campo vectorial, entonces la derivada de Lie es la versión infinitesimal del pullback - rigurosamente en que $\mathcal{L}_X\phi = \lim_{\epsilon\to 0} \frac{\phi_\epsilon(x) - \phi(x)}{\epsilon}$ - y recuperamos la afirmación sobre la derivada de Lie de antes.

En cuanto a la confusión en la pregunta sobre el "misterio" de lo que el Lagrangiano es realmente una función - que no es realmente relevante aquí porque podemos enunciar la noción de simetría en el nivel de la acción sin mencionar nunca un Lagrangiano - ver esta respuesta mía en particular el último párrafo.

Answer 2

Puede que sea más fácil ver lo que ocurre haciendo algunas simplificaciones:

• En primer lugar, podemos trabajar en $0+1$ En otras palabras, podemos trabajar con la mecánica de partículas ordinaria, donde la acción es una integral de tiempo del Lagrangiano.
• En segundo lugar, podemos hacer que el Lagrangiano rompa explícitamente la invariancia de traslación temporal, y ver cómo esto resulta en la ruptura del teorema de Noether.

Combinando estos dos puntos, consideremos la siguiente acción \begin{equation} S = \int_{t_1}^{t_2}{\rm d}t f(t)\left(\frac{m}{2}\dot{x}^2 - V(x)\right) \end{equation} donde $f(t)$ es alguna función arbitraria que ponemos en la acción. Si $f={\rm const}$ entonces la acción será invariante de traslación temporal, y podemos aplicar el teorema de Noether para derivar la conservación de la energía. Para cualquier otra elección de $f$ no se aplicará el teorema de Noether y la energía no se conservará.

A alto nivel, podemos dar algunos argumentos de plausibilidad. Es evidente que el valor de $S$ dependerá de nuestra elección de $f$ por lo que al menos es posible que las propiedades de $f$ pueden afectar a las leyes de conservación. En segundo lugar, podemos comprobar si la energía se conserva explícitamente derivando las ecuaciones de movimiento variando $x$ \begin{equation} m \ddot{x} + \frac{\dot f}{f} m \dot{x} + V' = 0 \end{equation} El término $\sim \dot{x}$ es un término de fricción que elimina energía del sistema (y este término de fricción desaparece si $\dot{f}=0$ ). Esto te demuestra que algo debe estar mal en tu lógica, porque tu lógica te habría llevado a concluir que el teorema de Noether debe aplicarse en este ejemplo, y la energía debe conservarse. Sin embargo, no hemos identificado exactamente qué es lo que falla en tu argumento.

Para responder realmente a la pregunta, deberíamos entrar en los detalles e intentar aplicar el teorema de Noether en este ejemplo y ver en qué se equivoca. Como ha dicho @Prahar en los comentarios, tenemos que entender lo que significa realmente la invariancia de traslación temporal en este contexto. No significa que realicemos una transformación de coordenadas $t\rightarrow \tilde{t}(t)$ (que de hecho no puede cambiar nada físico del sistema). Físicamente, la idea es que movemos todo el sistema físico del tiempo $t$ al tiempo $t+\delta t$ (por ejemplo, esperando un tiempo $\delta t$ antes de iniciar el experimento). Entonces, el movimiento de la partícula cambiará de $x(t)$ a $x(t+\delta t)$ pero no cambiamos también nuestros relojes para ajustarnos a este cambio, así que en cualquier lugar $t$ aparece explícitamente en $L$ no la transformamos.

Por lo tanto, cuando transformamos $L$ obtenemos \begin{eqnarray} \delta L &=& L(x(t+\delta t), \dot{x}(t+\delta t), t) - L(x(t), \dot{x}(t), t) \\ &=& \frac{\partial L}{\partial x} \dot x \delta t + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \ddot{x} \delta t \\ &\neq& \frac{{\rm d} L}{{\rm d} t} \delta t \end{eqnarray} porque no transformamos el $t$ dependencia. El fracaso de $L$ transformarse como una derivada total en esta situación significa que la acción sí cambia y el teorema de Noether no se cumple.

Answer 3

La acción es una función del campo, $$ S[\phi] = \int d^4 x {\cal L}(\phi(x),\partial_\mu \phi(x) , \cdots ) . $$ Por supuesto, puede cambiar la variable de integración. $x \to x'(x)$ como desee y obtendrá $$ S[\phi] = \int d^4 x' {\cal L}(\phi(x'),\partial'_\mu \phi(x') , \cdots ) . $$ Observe que el campo no ha cambiado por lo que $\phi$ sigue siendo $\phi$ en ambos lados de la ecuación. Lo que NO se consigue cuando se hace $x \to x'$ es $\int d^4 x' {\cal L}(\phi'(x'),\partial'_\mu \phi'(x') , \cdots )$ (como ha mencionado en su pregunta).

Para hablar de simetrías hay que transformar el campos de la teoría, no las coordenadas espaciotemporales. Para más detalles sobre cómo tratar las simetrías espaciotemporales puedes consultar mis respuestas anteriores que he enlazado en los comentarios de la pregunta.

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Permítanme considerar el ejemplo concreto de las traducciones para aclarar mi punto de vista. Traducciones está parametrizado por un vector $a^\mu$ y actúa sobre los campos como $$ \phi(x) \to \phi'_a(x) , \qquad \phi'_a(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} a^{\mu_1} \cdots a^{\mu_n} \partial_{\mu_1} \cdots \partial_{\mu_n} \phi(x) \tag{1} $$ Fíjate en cómo he definido el campo primed $\phi'_a$ en el punto $x$ en términos de una suma infinita de campos en el mismo punto $x$ . Ahora, debido a la propiedad especial de la suma infinita, puedo equivalentemente escriba a $$ \phi'_a(x-a) = \phi(x) \tag{2} $$ donde ahora parece He actuado sobre las coordenadas, pero esta forma de escribir la transformación es una manera sencilla de empaquetar la suma infinita (1).

Hasta ahora hemos hablado de la traslación como transformación sobre los campos. Ahora discutiremos las traslaciones como simetría de la acción. Para ello, consideramos la acción $S[\phi'_a]$ . Por definición, se trata de $$ S[\phi'_a] = \int d^4 x {\cal L}(\phi'_a(x),\partial_\mu \phi'_a(x) , \cdots ) $$ Fíjate que en todas partes sólo he cambiado el campo, NO las coordenadas. Ahora cambiamos el variable ficticia de integración a $x \to x - a$ lo que implica $$ S[\phi'_a] = \int d^4 x {\cal L}(\phi'_a(x-a),\partial_\mu \phi'_a(x-a) , \cdots ) $$ Ahora simplificamos utilizando la propiedad (2), $$ S[\phi'_a] = \int d^4 x {\cal L}(\phi(x),\partial_\mu \phi(x) , \cdots ) = S[\phi]. $$ Por tanto, hemos demostrado que las traslaciones son una simetría de la acción porque la acción evaluada en la configuración de campo $\phi'_a(x)$ es la misma que la acción evaluada en la configuración de campo $\phi(x)$ .

Obsérvese, por ejemplo, que si la acción era $$ \int d^4 x \sqrt{g(x)} {\cal L}(\phi(x),\partial_\mu \phi(x) , \cdots ) $$ como en la relatividad general, entonces las traslaciones ¡¡¡ya no será una simetría!!! aunque su acción sobre los campos seguiría siendo (1).

Answer 4

El teorema de Noether trata de la invariancia de la acción bajo transformaciones activas . Digamos que tienes una acción que es una función fija de la trayectoria del campo $S[\phi (x, t) ]$ . El teorema de Noether busca una familia de trayectorias de campo indexadas por un parámetro $\alpha$ , $\phi _{\alpha} (x, t)$ tal que la acción es invariante para la familia. Ahora, note que no cualquier familia de trayectorias de campo tendrá una acción invariante.

¿Dónde supone esto la derivación de Noether?

Es al principio cuando considera una función fija de una familia de trayectorias de campo indexadas por un parámetro, $S[\phi (x, t, \alpha)]$ . En la noción de transformaciones de coordenadas pasivas de la OP, la forma funcional de la acción puede cambiar, por lo que el argumento de Noether ni siquiera empieza a aplicarse.