Prueba de $\limsup s_n = \lim _{N \rightarrow \infty} \sup \{s_n: n >N \}$ . ¿Qué significa $n>{}$ ¿significa número natural? ¿Es errónea la solución?

Question

¿Está mal la clave de respuestas?
Problema $$\text{Let $ (s_n) $ be a bounded sequence. Prove that $ \limsup s_n = \lim _{N \rightarrow \infty} \ s_n: n >N $. }$$

Clave de respuestas : Desde $\{s_n \}$ está limitada, $m= \limsup s_n \in \mathbb{R}$ . Tenemos que demostrar (1) $m \le \limsup \{ s_n: n>N \}$ y (2) $\limsup \{ s_n: n>N \} \le m $ .

Prueba de (2):
Dado $\epsilon>0$ existe $K \in \mathbb{N}$ tal que $s_n<m+ \epsilon$ para todos $n>K$ tenemos $\sup \{ s_n: n> \mathbb{N} \} \le m + \epsilon$ . Dado que esto es válido para todos los $\epsilon > 0$ , $\sup\{s_n: n>N\} \le m$ siempre que $N>K$ .

Mi pregunta : ¿Puede alguien explicar la prueba en palabras sencillas? En concreto,

tenemos $\sup \{ s_n: n> \mathbb{N} \} \le m + \epsilon$ .

¿qué significa que n sea mayor que los números naturales?

Respuesta original más abajo:

Answer 1

$\sup\{s_n\,:\, n>\Bbb N\}$ es una errata. Debería ser $\sup\{s_n\,:\, n>N\}$ .