Considere la siguiente pregunta:
Tim ha perdido a su mascota en el bosque A (con una probabilidad de 0,4) o en el bosque B (con una probabilidad de 0,6). bosque B (con probabilidad 0,6).
Si su mascota está en el bosque A y Tim se pasa un día buscando en el bosque A, la probabilidad condicional de que encuentre a su día es de 0,25. Del mismo modo, si su mascota está en el bosque B y Tim pasa un día buscándola allí, encontrará la mascota ese día con probabilidad 0.15.
La mascota no puede ir de un bosque a otro. Tim sólo puede buscar de durante el día, y sólo puede viajar de un bosque a otro durante la noche. Tim deja de buscar en cuanto encuentra a su mascota.
¿En qué bosque debe buscar Tim el primer día maximizar la probabilidad de encontrar a su mascota ese día?
Para resolver esta cuestión, he definido los siguientes eventos:
F: Evento de que la mascota está en el bosque A. F': Evento de que la mascota está en el bosque B.
Fi: Suceso de que encuentra a su mascota el día i. Fi': Suceso de que no encuentre a su mascota el día i.
Si: Suceso que busca en el bosque A el día i. Si': Suceso que busca en el bosque B el día i.
Y a partir de la información dada, he construido el siguiente diagrama de Venn:
La pregunta se refiere a cuál de $ P(Fi | Si) $ o $ P(Fi | Si') $ es mayor.
Ahora bien, según tengo entendido, resolver la pregunta con sólo esta cantidad de información no es posible. Supongo que para resolver la pregunta tengo que suponer que Si y F son sucesos independientes. Intuitivamente Esta es una buena suposición, porque por la formulación de la pregunta, parece que Tim elige el bosque para buscar totalmente. a su propio deseo .
Cuando resuelvo la pregunta utilizando esta suposición, hago el álgebra y obtengo $ P(Fi | Si) = 0.1 $ y $ P(Fi | Si') = 0.09 $ .
Ahora viene mi pregunta: He asumido que Si y F son totalmente independientes intuitivamente . Es decir: He leído la pregunta y por la redacción de la pregunta y por sentido común He llegado a la conclusión de que Si y F deben ser independientes y, por tanto, he podido resolver la pregunta.
Sin embargo, no soy exactamente seguro si estos dos acontecimientos son en efecto independiente. Por sentido común e intuición, he llegado a la conclusión de que estos hechos son independientes. Sin embargo, no tengo argumentos matemáticos, ni ningún tipo de argumento que sea más riguroso que sentido común y intuición para respaldar esta suposición.
Así que mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo puedo determinar rigurosamente si dos sucesos son independientes?
Por cierto, tenga en cuenta que un argumento como: "Para rigurosamente determinar si dos sucesos A y B son independientes, basta con comprobar si la ecuación $ P(A \cap B) = P(A) * P(B) $ sostiene" es totalmente inválido. Porque quiero saber si los sucesos A y B son independientes en el caso de que no sepa $ P(A \cap B) $ o $ P(A) $ o $ P(B) $ . En otras palabras, quiero saber si dos acontecimientos son independientes para hacer inferencias en $ P(A \cap B) $ o $ P(A) $ o $ P(B) $ . No a validar mis cálculos en $ P(A \cap B) $ y $ P(A) $ y $ P(B) $ .
