¿Existe un espacio de Banach infinito-dimensional con una bola unitaria compacta?

Question

Un par de ejercicios populares en los primeros cursos de análisis funcional demuestran el siguiente teorema:

La bola unitaria de un espacio de Banach $X$ es compacta si y sólo si $X$ es de dimensión finita.

Mi pregunta es si la parte "sólo si" (es decir, que la bola unitaria de un espacio de Banach infinito es no compacta) es necesariamente cierta sin alguna forma del axioma de elección. La prueba habitual utiliza el teorema de Hahn-Banach, que puede considerarse razonablemente como una forma débil del axioma de elección (véase esta respuesta y otras respuestas a la misma pregunta, para algunos puntos interesantes relacionados con esto).

Answer 1

Permítame intentar una posible respuesta. Tomemos un modelo de $ZF$ donde se cumple el axioma de elección para una familia denumerable de conjuntos finitos pero donde existe un conjunto finito Dedekind infinito $B$ (se puede comprobar que este modelo existe, por ejemplo, ici ; $\mathcal{M}32$ es uno de estos modelos). A continuación, $\ell_2(B)$ es un espacio de Hilbert de dimensión infinita con base ortonormal finita Dedekind, cuya bola unitaria es, por el teorema 2 del anteriormente citado artículo secuencialmente compacta.

Answer 2

Estoy un poco sorprendido. Tal vez no haya entendido bien la pregunta, pero la demostración estándar de la pregunta de la OP no se basa en el Teorema HB, sino simplemente en el Lemma de Riesz, en cuya demostración a su vez no veo ninguna aplicación de la AC.