Mi pregunta: Si tenemos $f:X\to Y$ un morfismo etale y suponemos $X,Y$ Variedades afines lisas, ¿por qué es cierto que $|f^{-1}(y)|\leq deg(f)$ ? ¿Por qué no hay $Y$ que tiene más elementos en la fibra que el grado de $f$ ?
Respuestas
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Nir
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Si el morfismo de variedades $f:X\to Y$ es étalo es automáticamente cuasi finito.
Una de las versiones del teorema principal de Zariski (véase las notas de nuestro amigo Akhil Teorema 8.5) implica que $f$ puede factorizarse como $f=f'\circ j: X \stackrel {j} {\hookrightarrow} Y' \stackrel {g} {\rightarrow} Y$ donde $j$ es una inmersión abierta y $g$ es finito.
Puesto que conoces la relación deseada para el morfismo finito $g$ y puesto que $j$ es por supuesto inyectiva se obtiene $$|f^{-1}(y)|\leq |g^{-1}(y)|\leq deg(g)=deg(f)$$ tal y como deseabas.
Observación
No es necesario suponer la suavidad de las variedades y sólo se utiliza la cuasi-finitud [Qing Liu, Capítulo 4, Proposición 3.23 (a)] a partir de la hipótesis étale.
user10000100_u
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Doy una pista, en forma de la siguiente pregunta : que $A$ y $B$ sea $k$ -de tipo finito sobre $k$ que son dominios, tales que $B$ es un finito $A$ -de grado $d$ que es formalmente étale, y sea $\mathfrak{p}$ sea un ideal primo de $A$ cuántos primos ideales $\mathfrak{q}$ de $B$ yacen sobre $\mathfrak{p}$ ?
