Con las secuencias surge simplemente de la aritmética de límites, pero con las series no consigo que funcione. Todavía no hemos aprendido integrales, así que no puedo usar eso. ¿Algún consejo?
Respuestas
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Si conoce el siguiente resultado : Si $a_n, b_n$ son secuencias reales tales que las sumas $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$ están acotadas y $b_n$ disminuir a $0$ entonces la serie $\sum a_nb_n$ es convergente, puede utilizar que $b_n=e-(1+\frac{1}{n})^n$ es decreciente y $\to 0$ y si la serie $a_n$ es convergente, entonces la $S_n$ son convergentes y, por tanto, acotadas. Para la otra implicación, utilice $(1+\frac{1}{n})^{-n}-1/e$ .
LeGrandDODOM
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Si el $a_n$ son positivos, el resultado se desprende de la prueba de comparación de límites.
Si se suprime la hipótesis, se puede utilizar la suma por partes. Demostremos que si $\sum_n a_n$ converge, entonces $\sum_n \left(1+\frac 1n \right)^na_n$ converge. Sea $A_n=\sum_{k=0}^n a_k$ de modo que $$\sum_{n=0}^N \left(1+\frac 1n \right)^na_n = A_N\left(1+\frac 1N \right)^N-\sum_{n=0}^{N-1}A_n\left( \left(1+\frac 1{n+1} \right)^{n+1}-\left(1+\frac 1n \right)^n\right)$$
Desde $\lim_N \left(1+\frac 1N \right)^N = e$ , $A_N\left(1+\frac 1N \right)^N$ converge. Dado que $A_N$ está acotada (porque converge) y $\left(1+\frac 1N \right)^N$ está aumentando, $\sum_{n=0}^{N-1}A_n\left( \left(1+\frac 1{n+1} \right)^{n+1}-\left(1+\frac 1n \right)^n\right)$ es absolutamente convergente, por lo tanto convergente.
$\sum_{n=0}^N \left(1+\frac 1n \right)^na_n$ es la suma de dos secuencias convergentes, por lo tanto converge.
Del mismo modo, se puede demostrar que si $\sum_n a_n$ converge, entonces $\sum_n \left(1+\frac 1n \right)^{\color{red}{-n}}a_n$ converge. Aplique esto a $\sum_n \left(1+\frac 1n \right)^{n}a_n$ para obtener lo contrario de su afirmación.
