$Mset_{3}$ función generadora

Question

Tengo que usar el hecho de que $M(x,y)=\prod_{n} (1-yx^{n})^{-a_{n}} $ para encontrar su función generadora.

Con $Pset_{3}(x)$ Hice algo así: Como $Pset(x) = \prod_{n}(1+yx^n)^{a_{n}}$ para obtener $y^3$ Puedo elegir tres corchetes en el mismo $a_k$ dos iguales y uno diferente y todos diferentes. Así que puedo escribir algo como esto: $$Pset_{3}(x)=\sum_{n} \binom{a_n}{3}x^{3n}+\sum_{k \neq j}\binom{a_k}{2}a_jx^{2k+j}+\sum_{k<j<i}a_ja_ka_ix^{k+j+i} $$ y entonces obtengo la respuesta. Pero ¿cómo puedo hacer algo similar para obtener $Mset_{3}$ ?

Answer 1

Utilizamos el coeficiente de operador $[y^q]$ para denotar el coeficiente de $y^q$ en una serie y obtener de manera similar como OP hizo anteriormente:

\begin{align*} \color{blue}{[y^3]\prod_n}&\color{blue}{\left(1-yx^n\right)^{-a_n}}\\ &=[y^3]\prod_n\sum_{q=0}^\infty\binom{-a_n}{q}\left(-yx^n\right)^q\tag{1}\\ &=[y^3]\prod_n\sum_{q=0}^\infty\binom{a_n+q-1}{q}x^{nq}y^q\tag{2}\\ &=[y^3]\prod_n\sum_{q=0}^\infty\left(1+a_nx^{n}y+\binom{a_n+1}{2}x^{2n}y^2+\binom{a_n+2}{3}x^{3n}y^3\right)\tag{3}\\ &\,\,\color{blue}{=\sum_n\binom{a_n+2}{3}x^{3n}+\sum_{k \neq j}\binom{a_k+1}{2}a_jx^{2k+j}+\sum_{k<j<i}a_ka_ja_ix^{k+j+i}}\tag{4} \end{align*}

Comentario:

• En (1) utilizamos _serie binomial_ expansión.

• En (2) aplicamos la identidad binómica $\binom{-p}{q}=\binom{p+q-1}{q}(-1)^q$ .

• En (3) omitimos los términos que no contribuyen a $[y^3]$ .

• En (4) recogemos los términos que contribuyen a $[y^3]$ de la misma manera que OP.