Pregunta de verdadero/falso basada en grupos cociente de $S_{n} $ y $A_{n} $ .

Question

Estoy tratando preguntas de asignación de álgebra abstracta y necesito ayuda en la siguiente pregunta Verdadero / Falso.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

1. Todo grupo finito es subgrupo de $A_{n} $ para algunos $n\geq 1.$

2. Todo grupo finito es cociente de $A_{n} $ para algunos $n\geq 1$ .

3. Ningún grupo finito es cociente de $S_{n} $ para $n\geq 3.$

Creo que 2 no puede ser cierto como grupo cociente de $A_{n} $ también tendrá cardinalidad par y Grupo puede ser de cardinalidad impar.

Para 3 . Necesito saber sobre todos los grupos cocientes de $S_{n } $ que son $S_{n} $ y {0,1} y así $Z_{2} $ es un grupo abeliano preguntado en 3 . ¡¡Espero estar en lo cierto!!

¿Alguien puede explicarme en detalle cómo puedo demostrar 1. la existencia de una enfermedad?

Answer 1

1. Es cierto. Todo grupo finito es isomorfo a algún subgrupo de algún $S_n$ y $S_n$ es isomorfo a un subgrupo de $A_{n+2}$ .
2. Esto es falso. Se deduce del hecho de que $A_n$ es simple si $n>4$ .
3. El grupo $S_n$ es un cociente de $S_n$ para cada $n\in\Bbb N$ .