Unicidad de un mapa lineal

Question

Sea V un espacio vectorial. $\dim V = n$ y $ 0 \ne \alpha \in V$ . Entonces $\forall \beta \in V$ $\exists T: V \longrightarrow V$ s.t. $T(\alpha) = \beta$

Mis pensamientos:

Teorema (de Schaum's Linear Algebra) Sea $V$ y $U$ sean espacios vectoriales y $\{v_1, \ldots, v_n\}$ sea una base en $V$ . Sea $\{u_1,\ldots, u_n\}$ sean vectores arbitrarios en $U$ . Entonces existe un único mapeo lineal $F: V \to U$ tal que $F(v_i) = u_i$ .

Así que creo que esta afirmación es errónea debido a la singularidad.

¿Puede alguien confirmarme o corregirme si estoy equivocado?(T debe ser lineal V es de dimensión finita)

Gracias de antemano.

Answer 1

El teorema que has citado es el camino a seguir.

Tenga en cuenta que $\alpha\ne0$ implica que $\alpha$ forma parte de una base de $V$ .

En efecto, dejemos que $v_1=\alpha$ y completar esto a una base $v_1, \ldots, v_n$ de $V$ . Sea $u_1=\beta$ y $u_2=u_3=\cdots=u_n=0$ . Aplique ahora el teorema.