Gaussianos condicionales en dimensiones infinitas

Question

Pregunté esto en cross validated, pero pensé que también podría obtener una respuesta aquí:

Con frecuencia se menciona que la ley de la distribución gaussiana condicional (la media y la covarianza) se extiende al caso de valores espaciados separables de Hilbert, es decir, para $(X,Y)$ , $$ \mu_{X|Y=y} = \mu_X - C_{XY}C_{Y}^{-1}(\mu_Y - y) $$ y $$ C_{X|Y=y} = C_{X} - C_{XY}C_Y^{-1}C_{YX} $$

Estaba intentando encontrar una prueba de esto en el caso del espacio de Hilbert separable, y todos los documentos que encontré tendían a apuntar a Estimadores lineales y transformaciones lineales medibles en un espacio de Hilbert de A. Mandelbaum (1984). Escarbando en ese artículo, hay una parte de la prueba con la que tropiezo:

Estoy luchando con esa primera igualdad en (3.6), donde la expectativa condicional se convierte en la suma. Gracias por cualquier ayuda. Alternativamente, si alguien tiene una referencia a otro (mejor?) Prueba, hágamelo saber.

Answer 1

$\newcommand\Si\Sigma\newcommand\X{\mathbf X}$ Si $Y,X_1,\dots,X_n$ son conjuntamente variables aleatorias normales de media cero (de valor real), entonces $$E(Y|X_1,\dots,X_n)=\Si_{12}\Si_{22}^{-1}\X,$$ donde $\X:=[X_1,\dots,X_n]^\top$ , $\Si_{22}:=Cov\,\X$ (la matriz de covarianza de $\X$ ), y $\Si_{12}:=Cov(Y,\X)=[Cov(Y,X_1),\dots,Cov(Y,X_n)]=[EYX_1,\dots,EYX_n]$ . Si $X_1,\dots,X_n$ son independientes, entonces $\Si_{22}$ es la matriz diagonal con entradas diagonales $EX_1^2,\dots,EX_n^2$ .

Aplicando estas observaciones a $Y=(\theta,h)$ y $X_i=(X,e_i)$ para $i=1,\dots,n$ obtenemos la igualdad en cuestión.