¿Dónde queda el teorema del ideal principal (de CFT)?

Question

Mi impresión es que uno de los resultados célebres de la teoría de campos de clase el teorema del ideal principal a saber, que dado un campo numérico $K$ y su máxima extensión abeliana no ramificada L, todo ideal en el anillo de los enteros $O_K$ de $K$ se convierte en principal en el anillo de enteros $O_L$ de $L$ . Es decir, dado un ideal $I$ en $O_K$ el ideal $I \dot O_L$ es principal.

Este resultado fue conjeturado originalmente por Hilbert en 1900 y reducido a una cuestión de teoría de grupos por Artin, que fue finalmente resuelta por Furtwangler en 1930.

Nunca he visto más discusiones sobre el teorema del ideal principal, no conozco generalizaciones ni aplicaciones.

Como comenta James Milne en la Observación 3.20 del quinto capítulo de su libro sobre la teoría de campos de clases es fácil ver que hay algunos extensión finita de $K$ para el que todos los ideales de $K$ convertirse en director. Comenta además que esta extensión no tiene por qué ser el campo de clase de Hilbert de $K$ (EDIT: véase un ejemplo en el comentario de Dror).

¿Tiene el teorema del ideal principal un interés principalmente histórico (por ejemplo, porque era una conjetura de Hilbert desde hacía mucho tiempo)? ¿O tiene algún significado más profundo?

Answer 1

Entre las generalizaciones que recuerdo de memoria están:

• la generalización a grupos de clases de rayos ya mencionada por Kevin, demostrada por Iyanaga casi inmediatamente después de prueba de Furtwängler;
• El propio teorema de Furtwängler dice que si el grupo de clase es un elemental abeliano $2$ -grupo, entonces su base puede ser elegida de tal manera que cada base capitula en alguna extensión cuadrática;
• el teorema de Tannaka y Terada, según el cual las clases ambiguas en cíclicos extensión cíclica ya capitulan en el campo del género (la generalización obvia a las extensiones centrales central falla al menos en teoría de grupos debido a los resultados de Miyake).
• el teorema de Suzuki, que afirma que en cualquier extensión abeliana unramificada $L/K$ , un subgrupo de orden $\ge (L:K)$ debe capitular; esto fue generalizado por Gruenberg y
  Weiss (Capitulación y transferencia de núcleos).

La capitulación también está en el centro de la conjetura de Greenberg en la teoría de Iwasawa. Además, su análogo en la teoría de las variedades abelianas es la visibilidad de los grupos de Tate-Shafarevich; para una contribución reciente en la otra dirección, véase el artículo de Schoof y Washington sobre'la Visibilidad de las clases ideales'.

Answer 2

Existe una generalización del teorema del ideal principal a los grupos de clase rayo:

Sea $K$ sea un campo numérico, $\mathfrak{m}$ un módulo para $K$ , $L:=K(\mathfrak{m})$ el campo de clase de rayo módulo $\mathfrak{m}$ y $\mathfrak{n}$ la imagen de $\mathfrak{m}$ en $L$ . Entonces cualquier elemento en el grupo de clase de rayo modulo $\mathfrak{m}$ de $K$ se convierte en trivial en el grupo de clases del rayo módulo $\mathfrak{n}$ de L.

La prueba es casi idéntica a la de PIT, reduciéndose a la misma afirmación de teoría de grupos.

Answer 3

El fenómeno general de que los ideales se conviertan en principales en una extensión se denomina "capitulación". Hace ya un siglo que se trabaja en ello. Algunos resultados se mencionan en este informe de subvención que he encontrado: http://gow.epsrc.ac.uk/ViewGrant.aspx?GrantRef=EP/C517903/1 .